Theorem climcau 11493

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11496). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcau	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4859	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
2	1	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3		df-br 4031	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		rphalfcl 9750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8		eqidd 2194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
9		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 11433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11		eluzelz 9604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		uzid 9609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14	13, 4	eleq2s 2288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		fveq2 5555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	16	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑗) − 𝑦))
19	18	fveq2d 5559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
20	19	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
22	21	rspcv 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
24		rpre 9729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
27		climcl 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
34	31, 30	abssubd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
35		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
36	34, 35	eqbrtrd 4052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
38	37	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	ralimdv 2562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
42	25, 28, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
44	43	reximdva 2596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
46	45	ralrimiva 2567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
48	3, 47	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
49	48	exlimdv 1830	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	2, 49	syl5 32	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	50	imp 124	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  dom cdm 4660  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873   < clt 8056   − cmin 8192   / cdiv 8693  2c2 9035  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144   ⇝ cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  climcaucn  11497