Theorem climcau 11912

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11915). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcau	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4927	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
2	1	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3		df-br 4089	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		rphalfcl 9916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
9		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 11852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		uzid 9770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14	13, 4	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	16	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑗) − 𝑦))
19	18	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
20	19	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
22	21	rspcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
24		rpre 9895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
27		climcl 11847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
31		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
34	31, 30	abssubd 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
35		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
36	34, 35	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
38	37	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	ralimdv 2600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
42	25, 28, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
44	43	reximdva 2634	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
46	45	ralrimiva 2605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
48	3, 47	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
49	48	exlimdv 1867	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	2, 49	syl5 32	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	50	imp 124	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031   < clt 8214   − cmin 8350   / cdiv 8852  2c2 9194  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ℝ⁺crp 9888  abscabs 11562   ⇝ cli 11843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844

This theorem is referenced by:  climcaucn  11916