Theorem climcau 11148

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11151). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcau	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4743	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
2	1	ibi 175	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3		df-br 3938	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		simpll 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		rphalfcl 9498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8		eqidd 2141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
9		simplr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 11088	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		uzid 9364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14	13, 4	eleq2s 2235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	14	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	16	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑗) − 𝑦))
19	18	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
20	19	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
21	17, 20	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
22	21	rspcv 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
24		rpre 9477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
27		climcl 11083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
31		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		simplll 523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
34	31, 30	abssubd 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
35		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
36	34, 35	eqbrtrd 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
38	37	ex 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	ralimdv 2503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
40	39	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
42	25, 28, 41	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
44	43	reximdva 2537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
46	45	ralrimiva 2508	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
47	46	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
48	3, 47	syl5bir 152	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
49	48	exlimdv 1792	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	2, 49	syl5 32	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	50	imp 123	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937  dom cdm 4547  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643   < clt 7824   − cmin 7957   / cdiv 8456  2c2 8795  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ℝ⁺crp 9470  abscabs 10801   ⇝ cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  climcaucn  11152