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Theorem climcau 10799
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 10802). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcau ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 4647 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 175 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 3854 . . . . 5 (𝐹𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 497 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 rphalfcl 9224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
76adantl 272 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8 eqidd 2090 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simplr 498 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝑦)
104, 5, 7, 8, 9climi 10738 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11 eluzelz 9091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 uzid 9096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1413, 4eleq2s 2183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1514adantl 272 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
16 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1816oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) − 𝑦) = ((𝐹𝑗) − 𝑦))
1918fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
2019breq1d 3863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
2117, 20anbi12d 458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2221rspcv 2721 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2315, 22syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
24 rpre 9203 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2524ad2antlr 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 simpllr 502 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹𝑦)
27 climcl 10733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
29 simprl 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 simplrl 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
31 simpllr 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 simprr 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3431, 30abssubd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
35 simplrr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3634, 35eqbrtrd 3873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3837ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938ralimdv 2443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4039ex 114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4140com23 78 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4225, 28, 41syl2anc 404 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4323, 42mpdd 41 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4443reximdva 2476 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4510, 44mpd 13 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4645ralrimiva 2447 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4746ex 114 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
483, 47syl5bir 152 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4948exlimdv 1748 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
502, 49syl5 32 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5150imp 123 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wex 1427  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361  cop 3455   class class class wbr 3853  dom cdm 4454  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  cr 7412   < clt 7585  cmin 7716   / cdiv 8202  2c2 8536  cz 8813  cuz 9082  +crp 9197  abscabs 10493  cli 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730
This theorem is referenced by:  climcaucn  10803
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