Theorem climcau 11702

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11705). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcau	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4879	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
2	1	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3		df-br 4048	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		rphalfcl 9810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8		eqidd 2207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
9		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 11642	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11		eluzelz 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		uzid 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14	13, 4	eleq2s 2301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
16		fveq2 5583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	16	oveq1d 5966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − 𝑦) = ((𝐹‘𝑗) − 𝑦))
19	18	fveq2d 5587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
20	19	breq1d 4057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
22	21	rspcv 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
24		rpre 9789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
27		climcl 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
34	31, 30	abssubd 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
35		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
36	34, 35	eqbrtrd 4069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
38	37	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	ralimdv 2575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
42	25, 28, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
44	43	reximdva 2609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
46	45	ralrimiva 2580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
48	3, 47	biimtrrid 153	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
49	48	exlimdv 1843	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	2, 49	syl5 32	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	50	imp 124	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047  dom cdm 4679  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931   < clt 8114   − cmin 8250   / cdiv 8752  2c2 9094  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ℝ⁺crp 9782  abscabs 11352   ⇝ cli 11633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634

This theorem is referenced by:  climcaucn  11706