Theorem sseli 3138

Description: Membership inference from subclass relationship. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseli.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sseli	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sseli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		ssel 3136	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  sselii  3139  sselid  3140  elun1  3289  elun2  3290  finds  4577  finds2  4578  issref  4986  2elresin  5299  fvun1  5552  fvmptssdm  5570  elfvmptrab1  5580  fvimacnvi  5599  elpreima  5604  ofrfval  6058  ofvalg  6059  off  6062  offres  6103  eqopi  6140  op1steq  6147  dfoprab4  6160  f1od2  6203  reldmtpos  6221  smores3  6261  smores2  6262  ctssdccl  7076  pinn  7250  indpi  7283  enq0enq  7372  preqlu  7413  elinp  7415  prop  7416  elnp1st2nd  7417  prarloclem5  7441  cauappcvgprlemladd  7599  peano5nnnn  7833  nnindnn  7834  recn  7886  rexr  7944  peano5nni  8860  nnre  8864  nncn  8865  nnind  8873  nnnn0  9121  nn0re  9123  nn0cn  9124  nn0xnn0  9181  nnz  9210  nn0z  9211  nnq  9571  qcn  9572  rpre  9596  iccshftri  9931  iccshftli  9933  iccdili  9935  icccntri  9937  fzval2  9947  fzelp1  10009  4fvwrd4  10075  elfzo1  10125  expcllem  10466  expcl2lemap  10467  m1expcl2  10477  bcm1k  10673  bcpasc  10679  cau3lem  11056  climconst2  11232  fsum3  11328  binomlem  11424  fprodge1  11580  cos12dec  11708  dvdsflip  11789  infssuzcldc  11884  isprm3  12050  phimullem  12157  prmdiveq  12168  structcnvcnv  12410  fvsetsid  12428  tgval2  12691  qtopbasss  13161  dedekindicc  13251  ivthinc  13261  ivthdec  13262  cosz12  13341  cos0pilt1  13413  ioocosf1o  13415  exmidsbthrlem  13901