Theorem sseli 3175

Description: Membership inference from subclass relationship. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseli.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sseli	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sseli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		ssel 3173	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  sselii  3176  sselid  3177  elun1  3326  elun2  3327  finds  4632  finds2  4633  issref  5048  2elresin  5365  fvun1  5623  fvmptssdm  5642  elfvmptrab1  5652  fvimacnvi  5672  elpreima  5677  ofrfval  6139  ofvalg  6140  off  6143  offres  6187  eqopi  6225  op1steq  6232  dfoprab4  6245  f1od2  6288  reldmtpos  6306  smores3  6346  smores2  6347  ctssdccl  7170  pinn  7369  indpi  7402  enq0enq  7491  preqlu  7532  elinp  7534  prop  7535  elnp1st2nd  7536  prarloclem5  7560  cauappcvgprlemladd  7718  peano5nnnn  7952  nnindnn  7953  recn  8005  rexr  8065  peano5nni  8985  nnre  8989  nncn  8990  nnind  8998  nnnn0  9247  nn0re  9249  nn0cn  9250  nn0xnn0  9307  nnz  9336  nn0z  9337  nnq  9698  qcn  9699  rpre  9726  iccshftri  10061  iccshftli  10063  iccdili  10065  icccntri  10067  fzval2  10077  fzelp1  10140  4fvwrd4  10206  elfzo1  10257  expcllem  10621  expcl2lemap  10622  m1expcl2  10632  bcm1k  10831  bcpasc  10837  wrdv  10930  cau3lem  11258  climconst2  11434  fsum3  11530  binomlem  11626  fprodge1  11782  cos12dec  11911  dvdsflip  11993  infssuzcldc  12088  isprm3  12256  phimullem  12363  prmdiveq  12374  structcnvcnv  12634  fvsetsid  12652  ptex  12875  nmzsubg  13280  nmznsg  13283  nzrring  13679  lringnzr  13689  rege0subm  14072  znrrg  14148  tgval2  14219  qtopbasss  14689  dedekindicc  14787  ivthinc  14797  ivthdec  14798  cosz12  14915  cos0pilt1  14987  ioocosf1o  14989  lgsquadlem1  15191  exmidsbthrlem  15512