Theorem sseli 3244

Description: Membership inference from subclass relationship. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseli.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sseli	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sseli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		ssel 3242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sselii  3245  sselid  3246  elun1  3396  elun2  3397  elopabr  4425  elopabran  4426  finds  4747  finds2  4748  issref  5170  2elresin  5494  fvun1  5769  fvmptssdm  5790  elfvmptrab1  5801  fvopab4ndm  5803  fvimacnvi  5823  elpreima  5828  ofrfval  6311  ofvalg  6312  off  6315  offres  6368  eqopi  6406  op1steq  6413  dfoprab4  6426  f1od2  6471  reldmtpos  6524  smores3  6564  smores2  6565  ctssdccl  7451  pinn  7676  indpi  7709  enq0enq  7798  preqlu  7839  elinp  7841  prop  7842  elnp1st2nd  7843  prarloclem5  7867  cauappcvgprlemladd  8025  peano5nnnn  8259  nnindnn  8260  recn  8312  rexr  8371  peano5nni  9309  nnre  9313  nncn  9314  nnind  9322  nnnn0  9574  nn0re  9576  nn0cn  9577  nn0xnn0  9638  nnz  9667  nn0z  9668  uzuzle35  9974  nnq  10042  qcn  10043  rpre  10071  iccshftri  10407  iccshftli  10409  iccdili  10411  icccntri  10413  fzval2  10424  fzelp1  10491  4fvwrd4  10557  elfzo1  10613  infssuzcldc  10678  expcllem  11000  expcl2lemap  11001  m1expcl2  11011  bcm1k  11212  bcpasc  11218  hashfibclem  11296  wrdv  11334  ccatclab  11376  pfxfv0  11478  pfxfvlsw  11481  cau3lem  11895  climconst2  12073  fsum3  12170  binomlem  12266  fprodge1  12422  cos12dec  12551  dvdsflip  12634  isprm3  12912  phimullem  13023  prmdiveq  13034  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemfmpn  13283  ballotfilemodife  13289  ballotfilemfrceq  13321  structcnvcnv  13417  fvsetsid  13435  ptex  13667  nmzsubg  14062  nmznsg  14065  nzrring  14539  lringnzr  14549  rege0subm  14970  znrrg  15044  psrbagconf1o  15113  tgval2  15201  qtopbasss  15671  dedekindicc  15783  ivthinc  15793  ivthdec  15794  dvply2  15917  cosz12  15931  cos0pilt1  16003  ioocosf1o  16005  mpodvdsmulf1o  16185  fsumdvdsmul  16186  lgsquadlemofi  16293  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  wlk1walkdom  16698  exmidsbthrlem  17165