Theorem sseli 3244

Description: Membership inference from subclass relationship. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseli.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sseli	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sseli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		ssel 3242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sselii  3245  sselid  3246  elun1  3396  elun2  3397  elopabr  4425  elopabran  4426  finds  4747  finds2  4748  issref  5170  2elresin  5494  fvun1  5769  fvmptssdm  5790  elfvmptrab1  5801  fvopab4ndm  5803  fvimacnvi  5823  elpreima  5828  ofrfval  6311  ofvalg  6312  off  6315  offres  6368  eqopi  6406  op1steq  6413  dfoprab4  6426  f1od2  6471  reldmtpos  6524  smores3  6564  smores2  6565  ctssdccl  7451  pinn  7676  indpi  7709  enq0enq  7798  preqlu  7839  elinp  7841  prop  7842  elnp1st2nd  7843  prarloclem5  7867  cauappcvgprlemladd  8025  peano5nnnn  8259  nnindnn  8260  recn  8312  rexr  8371  peano5nni  9307  nnre  9311  nncn  9312  nnind  9320  nnnn0  9570  nn0re  9572  nn0cn  9573  nn0xnn0  9634  nnz  9663  nn0z  9664  uzuzle35  9965  nnq  10033  qcn  10034  rpre  10061  iccshftri  10397  iccshftli  10399  iccdili  10401  icccntri  10403  fzval2  10414  fzelp1  10481  4fvwrd4  10547  elfzo1  10603  infssuzcldc  10668  expcllem  10987  expcl2lemap  10988  m1expcl2  10998  bcm1k  11198  bcpasc  11204  hashfibclem  11282  wrdv  11320  ccatclab  11362  pfxfv0  11464  pfxfvlsw  11467  cau3lem  11880  climconst2  12057  fsum3  12154  binomlem  12250  fprodge1  12406  cos12dec  12535  dvdsflip  12618  isprm3  12896  phimullem  13003  prmdiveq  13014  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemfmpn  13234  ballotfilemodife  13240  ballotfilemfrceq  13272  structcnvcnv  13368  fvsetsid  13386  ptex  13618  nmzsubg  14013  nmznsg  14016  nzrring  14490  lringnzr  14500  rege0subm  14921  znrrg  14995  psrbagconf1o  15064  tgval2  15152  qtopbasss  15622  dedekindicc  15734  ivthinc  15744  ivthdec  15745  dvply2  15868  cosz12  15881  cos0pilt1  15953  ioocosf1o  15955  mpodvdsmulf1o  16104  fsumdvdsmul  16105  lgsquadlemofi  16195  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  wlk1walkdom  16600  exmidsbthrlem  17067