Theorem addlelt 9910

Description: If the sum of a real number and a positive real number is less than or equal to a third real number, the first real number is less than the third real number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addlelt	⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))

Proof of Theorem addlelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 9807	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐴)
3		rpre 9802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simp1 1000	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	4, 5	ltaddposd 8622	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ 𝑀 < (𝑀 + 𝐴)))
7	2, 6	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 < (𝑀 + 𝐴))
8		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 8122	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	3adant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
12		simp2 1001	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 8182	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 𝐴) ∧ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
14	5, 11, 12, 13	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 < (𝑀 + 𝐴) ∧ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
15	7, 14	mpand 429	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  0cc0 7945   + caddc 7948   < clt 8127   ≤ cle 8128  ℝ⁺crp 9795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-rp 9796

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  10149