ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rennim GIF version

Theorem rennim 10400
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
rennim (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7419 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 7454 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 7448 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 405 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpre 9109 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6 rereb 10262 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
75, 6syl5ib 152 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
84, 7syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
94addid2d 7611 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
109fveq2d 5293 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11 0re 7467 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
12 crre 10256 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1311, 12mpan 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1410, 13eqtr3d 2122 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
1514eqeq1d 2096 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
168, 15sylibd 147 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17 rpne0 9118 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
1817necon2bi 2310 . . . . 5 ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
1918eqcoms 2091 . . . 4 (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2016, 19syl6 33 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
2120pm2.01d 583 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22 df-nel 2351 . 2 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2321, 22sylibr 132 1 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1289  wcel 1438  wnel 2350  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  ici 7331   + caddc 7332   · cmul 7334  +crp 9103  cre 10239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-rp 9104  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator