Theorem rennim 11534

Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rennim	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8110	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 8148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 8142	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpre 9873	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6		rereb 11395	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
7	5, 6	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
9	4	addlidd 8312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
10	9	fveq2d 5636	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11		0re 8162	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		crre 11389	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
14	10, 13	eqtr3d 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
15	14	eqeq1d 2238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
16	8, 15	sylibd 149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17		rpne0 9882	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
18	17	necon2bi 2455	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
19	18	eqcoms 2232	. . . 4 ⊢ (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 19	syl6 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
21	20	pm2.01d 621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22		df-nel 2496	. 2 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
23	21, 22	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∉ wnel 2495  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  ℝcr 8014  0cc0 8015  ici 8017   + caddc 8018   · cmul 8020  ℝ⁺crp 9866  ℜcre 11372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-2 9185  df-rp 9867  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376

This theorem is referenced by: (None)