Theorem rennim 10660

Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rennim	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7634	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 7671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 7665	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 408	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpre 9343	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6		rereb 10522	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
7	5, 6	syl5ib 153	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
9	4	addid2d 7829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
10	9	fveq2d 5377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11		0re 7684	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		crre 10516	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
13	11, 12	mpan 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
14	10, 13	eqtr3d 2147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
15	14	eqeq1d 2121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
16	8, 15	sylibd 148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17		rpne0 9352	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
18	17	necon2bi 2335	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
19	18	eqcoms 2116	. . . 4 ⊢ (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 19	syl6 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
21	20	pm2.01d 590	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22		df-nel 2376	. 2 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
23	21, 22	sylibr 133	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   ∉ wnel 2375  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  ℂcc 7539  ℝcr 7540  0cc0 7541  ici 7543   + caddc 7544   · cmul 7546  ℝ⁺crp 9337  ℜcre 10499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-2 8683  df-rp 9338  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503

This theorem is referenced by: (None)