Theorem rennim 11564

Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rennim	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8127	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 8165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpre 9895	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6		rereb 11425	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
7	5, 6	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
9	4	addlidd 8329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
10	9	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11		0re 8179	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		crre 11419	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
14	10, 13	eqtr3d 2266	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
15	14	eqeq1d 2240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
16	8, 15	sylibd 149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17		rpne0 9904	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
18	17	necon2bi 2457	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
19	18	eqcoms 2234	. . . 4 ⊢ (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 19	syl6 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
21	20	pm2.01d 623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22		df-nel 2498	. 2 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
23	21, 22	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∉ wnel 2497  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  ici 8034   + caddc 8035   · cmul 8037  ℝ⁺crp 9888  ℜcre 11402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-2 9202  df-rp 9889  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406

This theorem is referenced by: (None)