Theorem rennim 11695

Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rennim	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8227	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 8265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 8259	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpre 9999	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6		rereb 11556	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
7	5, 6	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
9	4	addlidd 8428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
10	9	fveq2d 5676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11		0re 8279	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		crre 11550	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
14	10, 13	eqtr3d 2269	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
15	14	eqeq1d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
16	8, 15	sylibd 149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17		rpne0 10008	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
18	17	necon2bi 2469	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
19	18	eqcoms 2237	. . . 4 ⊢ (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 19	syl6 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
21	20	pm2.01d 623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22		df-nel 2510	. 2 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
23	21, 22	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∉ wnel 2509  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132  ici 8134   + caddc 8135   · cmul 8137  ℝ⁺crp 9992  ℜcre 11533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-2 9301  df-rp 9993  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537

This theorem is referenced by: (None)