caucvgre - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem caucvgre 10992

Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caucvgre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))

**Assertion**
Ref	Expression
caucvgre	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦 𝑘,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦 𝑛,𝐹,𝑘 𝜑,𝑘,𝑛 𝜑,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem caucvgre Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 8923	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2		caucvgre.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		caucvgre.cau	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
4	2, 3	caucvgrelemcau 10991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <_ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5	1, 2, 4	ax-caucvg 7933	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <_ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
6		ralrp 9677	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
7		0re 7959	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltxrlt 8025	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 <_ℝ 𝑥))
9	7, 8	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 <_ℝ 𝑥))
10	9	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 <_ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))))
11	10	ralbiia 2491	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <_ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
12	6, 11	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <_ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
13	12	rexbii 2484	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <_ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
14	5, 13	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 8936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
17		uznnssnn 9579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (ℤ_≥‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ)
18		ssralv 3221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ_≥‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
19	16, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
20		eluznn 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
21	16, 20	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 8936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
25		eluz1 9534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
27	26	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
28	27	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)
31		nnre 8928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	33	nnred 8934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
35		1re 7958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
36		ltadd1 8388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
37	35, 36	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
38	32, 34, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
39		nnleltp1 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
40	23, 33, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
41	38, 40	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
42	21, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
43	30, 42	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑚 < 𝑘)
44		nnre 8928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
45		ltxrlt 8025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <_ℝ 𝑘))
46	31, 44, 45	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <_ℝ 𝑘))
47	46	adantll 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <_ℝ 𝑘))
48	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
49	48, 33	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
50		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		rpre 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ)
55		ltxrlt 8025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥)))
56	49, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥)))
57	49, 53	readdcld 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ)
58		ltxrlt 8025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
59	51, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
60	56, 59	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
61	47, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
62	61	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
63	21, 62	syldan 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
64	43, 63	mpid 42	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
65	64	ralimdva 2544	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
66	19, 65	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
67		fveq2 5517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
68	67	breq1d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥)))
69	67	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
70	69	breq2d 4017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
71	68, 70	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
72	71	cbvralv 2705	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
73	66, 72	imbitrdi 161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
74	73	reximdva 2579	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
75		fveq2 5517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(𝑚 + 1)))
76	75	raleqdv 2679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
77	76	rspcev 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
78	16, 77	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
79	78	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
80	79	rexlimdva 2594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
81	74, 80	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
82	81	ralimdva 2544	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
83	82	reximdva 2579	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <_ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <_ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
84	14, 83	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ∀wral 2455 ∃wrex 2456 ⊆ wss 3131 class class class wbr 4005 ⟶wf 5214 ‘cfv 5218 (class class class)co 5877 ℝcr 7812 0cc0 7813 1c1 7814 + caddc 7816 <_ℝ cltrr 7817 < clt 7994 ≤ cle 7995 / cdiv 8631 ℕcn 8921 ℤcz 9255 ℤ_≥cuz 9530 ℝ⁺crp 9655

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-rp 9656

This theorem is referenced by: cvg1nlemres 10996

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