Theorem caucvgre 11725

Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgre	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑘   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem caucvgre

Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 9285	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2		caucvgre.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		caucvgre.cau	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
4	2, 3	caucvgrelemcau 11724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5	1, 2, 4	ax-caucvg 8289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
6		ralrp 10055	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
7		0re 8316	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltxrlt 8381	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
9	7, 8	mpan 428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
10	9	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))))
11	10	ralbiia 2564	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
12	6, 11	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
13	12	rexbii 2557	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
14	5, 13	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
15		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 9298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
17		uznnssnn 9956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ)
18		ssralv 3312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
19	16, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
20		eluznn 9979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
21	16, 20	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
25		eluz1 9904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
27	26	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
28	27	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)
31		nnre 9290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	33	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
35		1re 8315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
36		ltadd1 8747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
37	35, 36	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
38	32, 34, 37	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
39		nnleltp1 9683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
40	23, 33, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
41	38, 40	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
42	21, 41	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
43	30, 42	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑚 < 𝑘)
44		nnre 9290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
45		ltxrlt 8381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <ℝ 𝑘))
46	31, 44, 45	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <ℝ 𝑘))
47	46	adantll 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <ℝ 𝑘))
48	2	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
49	48, 33	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
50		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		rpre 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 8345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ)
55		ltxrlt 8381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥)))
56	49, 54, 55	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥)))
57	49, 53	readdcld 8345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ)
58		ltxrlt 8381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
59	51, 57, 58	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
60	56, 59	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
61	47, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
62	61	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
63	21, 62	syldan 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
64	43, 63	mpid 42	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
65	64	ralimdva 2617	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
66	19, 65	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
67		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
68	67	breq1d 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥)))
69	67	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
70	69	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
71	68, 70	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
72	71	cbvralv 2786	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
73	66, 72	imbitrdi 161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
74	73	reximdva 2652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
75		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑚 + 1)))
76	75	raleqdv 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
77	76	rspcev 2929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
78	16, 77	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
79	78	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
80	79	rexlimdva 2668	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
81	74, 80	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
82	81	ralimdva 2617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
83	82	reximdva 2652	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
84	14, 83	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   <_ℝ cltrr 8173   < clt 8350   ≤ cle 8351   / cdiv 8992  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ℝ⁺crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11729