ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgre GIF version

Theorem caucvgre 10974
Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgre (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑘   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8910 . . . 4 ℕ = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2 caucvgre.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 caucvgre.cau . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
42, 3caucvgrelemcau 10973 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
51, 2, 4ax-caucvg 7922 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6 ralrp 9662 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
7 0re 7948 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 ltxrlt 8013 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
97, 8mpan 424 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
109imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
1110ralbiia 2491 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
126, 11bitri 184 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1312rexbii 2484 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
145, 13sylibr 134 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
15 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615peano2nnd 8923 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
17 uznnssnn 9566 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ)
18 ssralv 3219 . . . . . . . . 9 ((ℤ‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
20 eluznn 9589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2116, 20sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 8923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2423nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
25 eluz1 9521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2726biimpd 144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2827impancom 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
3029simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)
31 nnre 8915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3433nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
35 1re 7947 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
36 ltadd1 8376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
3735, 36mp3an3 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
3832, 34, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
39 nnleltp1 9301 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
4023, 33, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
4138, 40bitr4d 191 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
4221, 41syldan 282 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
4330, 42mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑚 < 𝑘)
44 nnre 8915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
45 ltxrlt 8013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
4631, 44, 45syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
4746adantll 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
482ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4948, 33ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
50 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 rpre 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5352ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5451, 53readdcld 7977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ)
55 ltxrlt 8013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥)))
5649, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥)))
5749, 53readdcld 7977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ)
58 ltxrlt 8013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
5951, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
6056, 59anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6147, 60imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6261biimprd 158 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6321, 62syldan 282 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6443, 63mpid 42 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6564ralimdva 2544 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6619, 65syld 45 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
67 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
6867breq1d 4010 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥)))
6967oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) + 𝑥) = ((𝐹𝑖) + 𝑥))
7069breq2d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7168, 70anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7271cbvralv 2703 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7366, 72syl6ib 161 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7473reximdva 2579 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
75 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑚 + 1)))
7675raleqdv 2678 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7776rspcev 2841 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7816, 77sylan 283 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7978ex 115 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8079rexlimdva 2594 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8174, 80syld 45 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8281ralimdva 2544 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8382reximdva 2579 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8414, 83mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < cltrr 7806   < clt 7982  cle 7983   / cdiv 8618  cn 8908  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10978
  Copyright terms: Public domain W3C validator