ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgre GIF version

Theorem caucvgre 10760
Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgre (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑘   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8729 . . . 4 ℕ = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2 caucvgre.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 caucvgre.cau . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
42, 3caucvgrelemcau 10759 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
51, 2, 4ax-caucvg 7747 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6 ralrp 9470 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
7 0re 7773 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 ltxrlt 7837 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
97, 8mpan 420 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
109imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
1110ralbiia 2449 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
126, 11bitri 183 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1312rexbii 2442 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
145, 13sylibr 133 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
15 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615peano2nnd 8742 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
17 uznnssnn 9379 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ)
18 ssralv 3161 . . . . . . . . 9 ((ℤ‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
20 eluznn 9401 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2116, 20sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 8742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2423nnzd 9179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
25 eluz1 9337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2726biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2827impancom 258 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
3029simprd 113 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)
31 nnre 8734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3433nnred 8740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
35 1re 7772 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
36 ltadd1 8198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
3735, 36mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
3832, 34, 37syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
39 nnleltp1 9120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
4023, 33, 39syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
4138, 40bitr4d 190 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
4221, 41syldan 280 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
4330, 42mpbird 166 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑚 < 𝑘)
44 nnre 8734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
45 ltxrlt 7837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
4631, 44, 45syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
4746adantll 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
482ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4948, 33ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
50 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 rpre 9455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5352ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5451, 53readdcld 7802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ)
55 ltxrlt 7837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥)))
5649, 54, 55syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥)))
5749, 53readdcld 7802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ)
58 ltxrlt 7837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
5951, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
6056, 59anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6147, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6261biimprd 157 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6321, 62syldan 280 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6443, 63mpid 42 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6564ralimdva 2499 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6619, 65syld 45 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
67 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
6867breq1d 3939 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥)))
6967oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) + 𝑥) = ((𝐹𝑖) + 𝑥))
7069breq2d 3941 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7168, 70anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7271cbvralv 2654 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7366, 72syl6ib 160 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7473reximdva 2534 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
75 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑚 + 1)))
7675raleqdv 2632 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7776rspcev 2789 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7816, 77sylan 281 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7978ex 114 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8079rexlimdva 2549 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8174, 80syld 45 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8281ralimdva 2499 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8382reximdva 2534 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8414, 83mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  wss 3071   class class class wbr 3929  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   < cltrr 7631   < clt 7807  cle 7808   / cdiv 8439  cn 8727  cz 9061  cuz 9333  +crp 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10764
  Copyright terms: Public domain W3C validator