Theorem dcapnconst 14092

Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. Variation of Exercise 11.6(i) of [HoTT], p. (varies). See trilpo 14075 for more discussion of decidability of real number apartness.

This is a weaker form of dceqnconst 14091 and in fact this theorem can be proved using dceqnconst 14091 as shown at dcapnconstALT 14093. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcapnconst	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓

Proof of Theorem dcapnconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 7908	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	mptex 5722	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) ∈ V
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) ∈ V)
4		1zzd 9239	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
5		0zd 9224	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
6		breq1 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
7	6	dcbid 833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 0 ↔ DECID 𝑦 # 0))
8	7	rspccva 2833	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → DECID 𝑦 # 0)
9	4, 5, 8	ifcldcd 3561	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 # 0, 1, 0) ∈ ℤ)
10	9	fmpttd 5651	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ)
11		0re 7920	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1zzd 9239	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
13		0zd 9224	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
14		0cn 7912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		apirr 8524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → ¬ 0 # 0)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 # 0
17	16	olci 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 # 0 ∨ ¬ 0 # 0)
18		df-dc 830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 0 # 0 ↔ (0 # 0 ∨ ¬ 0 # 0))
19	17, 18	mpbir 145	. . . . . . . . 9 ⊢ DECID 0 # 0
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → DECID 0 # 0)
21	12, 13, 20	ifcldcd 3561	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(0 # 0, 1, 0) ∈ ℤ)
22	21	mptru 1357	. . . . . 6 ⊢ if(0 # 0, 1, 0) ∈ ℤ
23		breq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 # 0 ↔ 0 # 0))
24	23	ifbid 3547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → if(𝑦 # 0, 1, 0) = if(0 # 0, 1, 0))
25		eqid 2170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))
26	24, 25	fvmptg 5572	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ if(0 # 0, 1, 0) ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = if(0 # 0, 1, 0))
27	11, 22, 26	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = if(0 # 0, 1, 0)
28	16	iffalsei 3535	. . . . 5 ⊢ if(0 # 0, 1, 0) = 0
29	27, 28	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0)
31		1ne0 8946	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
32		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
33	32	ifbid 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 # 0, 1, 0) = if(𝑧 # 0, 1, 0))
34		rpre 9617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
35	34	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
36		1zzd 9239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
37		0zd 9224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
38		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
39	38	dcbid 833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 # 0 ↔ DECID 𝑧 # 0))
40		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0)
41	39, 40, 35	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → DECID 𝑧 # 0)
42	36, 37, 41	ifcldcd 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑧 # 0, 1, 0) ∈ ℤ)
43	25, 33, 35, 42	fvmptd3 5589	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) = if(𝑧 # 0, 1, 0))
44		rpap0 9627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 # 0)
45	44	iftrued 3533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → if(𝑧 # 0, 1, 0) = 1)
46	45	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑧 # 0, 1, 0) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2203	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) = 1)
48	47	neeq1d 2358	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
49	31, 48	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0)
50	49	ralrimiva 2543	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0)
51		fveq2 5496	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥))
52	51	neeq1d 2358	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
53	52	cbvralv 2696	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0)
54	50, 53	sylib 121	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0)
55	10, 30, 54	3jca 1172	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
56		feq1 5330	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (𝑓:ℝ⟶ℤ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ))
57		fveq1 5495	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (𝑓‘0) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0))
58	57	eqeq1d 2179	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → ((𝑓‘0) = 0 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0))
59		fveq1 5495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (𝑓‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥))
60	59	neeq1d 2358	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → ((𝑓‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
61	60	ralbidv 2470	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
62	56, 58, 61	3anbi123d 1307	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → ((𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0)))
63	3, 55, 62	elabd 2875	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ⊤wtru 1349  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  Vcvv 2730  ifcif 3526   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   # cap 8500  ℤcz 9212  ℝ⁺crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-inn 8879  df-z 9213  df-rp 9611

This theorem is referenced by: (None)