Theorem dcapnconst 16074

Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. Variation of Exercise 11.6(i) of [HoTT], p. (varies). See trilpo 16056 for more discussion of decidability of real number apartness.

This is a weaker form of dceqnconst 16073 and in fact this theorem can be proved using dceqnconst 16073 as shown at dcapnconstALT 16075. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcapnconst	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓

Proof of Theorem dcapnconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 8066	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	mptex 5817	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) ∈ V
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) ∈ V)
4		1zzd 9406	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
5		0zd 9391	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
6		breq1 4050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
7	6	dcbid 840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 0 ↔ DECID 𝑦 # 0))
8	7	rspccva 2877	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → DECID 𝑦 # 0)
9	4, 5, 8	ifcldcd 3609	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 # 0, 1, 0) ∈ ℤ)
10	9	fmpttd 5742	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ)
11		0re 8079	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1zzd 9406	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
13		0zd 9391	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
14		0cn 8071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		apirr 8685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → ¬ 0 # 0)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 # 0
17	16	olci 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 # 0 ∨ ¬ 0 # 0)
18		df-dc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 0 # 0 ↔ (0 # 0 ∨ ¬ 0 # 0))
19	17, 18	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ DECID 0 # 0
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → DECID 0 # 0)
21	12, 13, 20	ifcldcd 3609	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(0 # 0, 1, 0) ∈ ℤ)
22	21	mptru 1382	. . . . . 6 ⊢ if(0 # 0, 1, 0) ∈ ℤ
23		breq1 4050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 # 0 ↔ 0 # 0))
24	23	ifbid 3593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → if(𝑦 # 0, 1, 0) = if(0 # 0, 1, 0))
25		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))
26	24, 25	fvmptg 5662	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ if(0 # 0, 1, 0) ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = if(0 # 0, 1, 0))
27	11, 22, 26	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = if(0 # 0, 1, 0)
28	16	iffalsei 3581	. . . . 5 ⊢ if(0 # 0, 1, 0) = 0
29	27, 28	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0)
31		1ne0 9111	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
32		breq1 4050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
33	32	ifbid 3593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → if(𝑦 # 0, 1, 0) = if(𝑧 # 0, 1, 0))
34		rpre 9789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
36		1zzd 9406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
37		0zd 9391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
38		breq1 4050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
39	38	dcbid 840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 # 0 ↔ DECID 𝑧 # 0))
40		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0)
41	39, 40, 35	rspcdva 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → DECID 𝑧 # 0)
42	36, 37, 41	ifcldcd 3609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑧 # 0, 1, 0) ∈ ℤ)
43	25, 33, 35, 42	fvmptd3 5680	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) = if(𝑧 # 0, 1, 0))
44		rpap0 9799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 # 0)
45	44	iftrued 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → if(𝑧 # 0, 1, 0) = 1)
46	45	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑧 # 0, 1, 0) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) = 1)
48	47	neeq1d 2395	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
49	31, 48	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0)
50	49	ralrimiva 2580	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0)
51		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥))
52	51	neeq1d 2395	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
53	52	cbvralv 2739	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0)
54	50, 53	sylib 122	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0)
55	10, 30, 54	3jca 1180	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
56		feq1 5414	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (𝑓:ℝ⟶ℤ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ))
57		fveq1 5582	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (𝑓‘0) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0))
58	57	eqeq1d 2215	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → ((𝑓‘0) = 0 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0))
59		fveq1 5582	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (𝑓‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥))
60	59	neeq1d 2395	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → ((𝑓‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
61	60	ralbidv 2507	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0))
62	56, 58, 61	3anbi123d 1325	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)) → ((𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0)):ℝ⟶ℤ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 # 0, 1, 0))‘𝑥) ≠ 0)))
63	3, 55, 62	elabd 2919	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373  ⊤wtru 1374  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∀wral 2485  Vcvv 2773  ifcif 3572   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932  1c1 7933   # cap 8661  ℤcz 9379  ℝ⁺crp 9782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-inn 9044  df-z 9380  df-rp 9783

This theorem is referenced by: (None)