Theorem expnlbnd 10600

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpap0 9627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	rerecclapd 8751	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		expnbnd 10599	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
5	3, 4	syl3an1 1266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
6		rpregt0 9624	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7	6	3ad2ant1 1013	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8	7	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9		nnnn0 9142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		reexpcl 10493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
11	9, 10	sylan2 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
13		simpll 524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		nnz 9231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
16		0lt1 8046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
17		0re 7920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 7919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		lttr 7993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
20	17, 18, 19	mp3an12 1322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
21	16, 20	mpani 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
22	21	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
23	22	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
24		expgt0 10509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑘))
25	13, 15, 23, 24	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑𝑘))
26	12, 25	jca 304	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
27	26	3adantl1 1148	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
28		ltrec1 8804	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
29	8, 27, 28	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
30	29	rexbidva 2467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
31	5, 30	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   < clt 7954   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℝ⁺crp 9610  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10601