Theorem expnlbnd 10894

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpap0 9874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	rerecclapd 8989	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		expnbnd 10893	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
5	3, 4	syl3an1 1304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
6		rpregt0 9871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7	6	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9		nnnn0 9384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		reexpcl 10786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
11	9, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
13		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		nnz 9473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
16		0lt1 8281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
17		0re 8154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 8153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		lttr 8228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
20	17, 18, 19	mp3an12 1361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
21	16, 20	mpani 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
22	21	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
24		expgt0 10802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑘))
25	13, 15, 23, 24	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑𝑘))
26	12, 25	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
27	26	3adantl1 1177	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
28		ltrec1 9043	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
29	8, 27, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
30	29	rexbidva 2527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
31	5, 30	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   < clt 8189   / cdiv 8827  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℝ⁺crp 9857  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10895