Theorem expnlbnd 10930

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9898	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpap0 9908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	rerecclapd 9017	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		expnbnd 10929	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
5	3, 4	syl3an1 1306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
6		rpregt0 9905	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7	6	3ad2ant1 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9		nnnn0 9412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		reexpcl 10822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
11	9, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
13		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		nnz 9501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
16		0lt1 8309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
17		0re 8182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 8181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		lttr 8256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
20	17, 18, 19	mp3an12 1363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
21	16, 20	mpani 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
22	21	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
24		expgt0 10838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑘))
25	13, 15, 23, 24	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑𝑘))
26	12, 25	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
27	26	3adantl1 1179	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
28		ltrec1 9071	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
29	8, 27, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
30	29	rexbidva 2529	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
31	5, 30	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6021  ℝcr 8034  0cc0 8035  1c1 8036   < clt 8217   / cdiv 8855  ℕcn 9146  ℕ₀cn0 9405  ℤcz 9482  ℝ⁺crp 9891  ↑cexp 10804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-rp 9892  df-seqfrec 10714  df-exp 10805

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10931