Theorem reeff1o 13033

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 11574	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 5368	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 5312	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 5321	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		rpre 9545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
8		reeff1olem 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
9	7, 8	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
10	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpgt0 9550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
12	11	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 0 < 𝑧)
13		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 < e)
14		0xr 7903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		ere 11544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
16	15	rexri 7914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ*
17		elioo2 9803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e)))
18	14, 16, 17	mp2an 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e))
19		reeff1oleme 13032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
20	18, 19	sylbir 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
21	10, 12, 13, 20	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
22		1lt2 8981	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
23		egt2lt3 11653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
24	23	simpli 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < e
25		1re 7856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		2re 8882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	25, 26, 15	lttri 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
28	22, 24, 27	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < e
29		1red 7872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
30	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ)
31		axltwlin 7924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
32	29, 30, 7, 31	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
33	28, 32	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e))
34	9, 21, 33	mpjaodan 788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
35		fvres 5485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
36	35	eqeq1d 2163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
37	36	rexbiia 2469	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
38	34, 37	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
39		fvelrnb 5509	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
41	38, 40	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
42	41	ssriv 3128	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
43	6, 42	eqssi 3140	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
44		df-fo 5169	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
45	4, 43, 44	mpbir2an 927	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
46		df-f1o 5170	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
47	1, 45, 46	mpbir2an 927	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∃wrex 2433   ⊆ wss 3098   class class class wbr 3961  ran crn 4580   ↾ cres 4581   Fn wfn 5158  ⟶wf 5159  –1-1→wf1 5160  –onto→wfo 5161  –1-1-onto→wf1o 5162  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712  ℝ^*cxr 7890   < clt 7891  2c2 8863  3c3 8864  ℝ⁺crp 9538  (,)cioo 9770  expce 11516  eceu 11517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831  ax-pre-suploc 7832  ax-addf 7833  ax-mulf 7834

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-disj 3939  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-of 6022  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-map 6584  df-pm 6585  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-xneg 9657  df-xadd 9658  df-ioo 9774  df-ico 9776  df-icc 9777  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-fac 10577  df-bc 10599  df-ihash 10627  df-shft 10692  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228  df-ef 11522  df-e 11523  df-rest 12292  df-topgen 12311  df-psmet 12326  df-xmet 12327  df-met 12328  df-bl 12329  df-mopn 12330  df-top 12335  df-topon 12348  df-bases 12380  df-ntr 12435  df-cn 12527  df-cnp 12528  df-tx 12592  df-cncf 12897  df-limced 12964  df-dvap 12965

This theorem is referenced by:  reefiso  13037  dfrelog  13120  relogf1o  13121  reeflog  13123