Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1o GIF version

Theorem reeff1o 12902
 Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1o (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1 11443 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2 f1f 5336 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3 ffn 5280 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
41, 2, 3mp2b 8 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5 frn 5289 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
61, 2, 5mp2b 8 . . . 4 ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7 rpre 9477 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
8 reeff1olem 12900 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
97, 8sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
107adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < e) → 𝑧 ∈ ℝ)
11 rpgt0 9482 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
1211adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < e) → 0 < 𝑧)
13 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < e) → 𝑧 < e)
14 0xr 7836 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
15 ere 11413 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
1615rexri 7847 . . . . . . . . . . 11 e ∈ ℝ*
17 elioo2 9734 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 < e)))
1814, 16, 17mp2an 423 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 < e))
19 reeff1oleme 12901 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
2018, 19sylbir 134 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
2110, 12, 13, 20syl3anc 1217 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
22 1lt2 8913 . . . . . . . . . 10 1 < 2
23 egt2lt3 11522 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ∧ e < 3)
2423simpli 110 . . . . . . . . . 10 2 < e
25 1re 7789 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
26 2re 8814 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2725, 26, 15lttri 7892 . . . . . . . . . 10 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
2822, 24, 27mp2an 423 . . . . . . . . 9 1 < e
29 1red 7805 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
3015a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ)
31 axltwlin 7856 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 < e → (1 < 𝑧𝑧 < e)))
3229, 30, 7, 31syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < e → (1 < 𝑧𝑧 < e)))
3328, 32mpi 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < 𝑧𝑧 < e))
349, 21, 33mpjaodan 788 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
35 fvres 5453 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
3635eqeq1d 2149 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
3736rexbiia 2453 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
3834, 37sylibr 133 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
39 fvelrnb 5477 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
404, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
4138, 40sylibr 133 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
4241ssriv 3106 . . . 4 + ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
436, 42eqssi 3118 . . 3 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
44 df-fo 5137 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
454, 43, 44mpbir2an 927 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
46 df-f1o 5138 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
471, 45, 46mpbir2an 927 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937  ran crn 4548   ↾ cres 4549   Fn wfn 5126  ⟶wf 5127  –1-1→wf1 5128  –onto→wfo 5129  –1-1-onto→wf1o 5130  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645  ℝ*cxr 7823   < clt 7824  2c2 8795  3c3 8796  ℝ+crp 9470  (,)cioo 9701  expce 11385  eceu 11386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-e 11392  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834 This theorem is referenced by:  reefiso  12906  dfrelog  12989  relogf1o  12990  reeflog  12992
 Copyright terms: Public domain W3C validator