Theorem reeff1o 15468

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 12232	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 5536	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 5476	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 5485	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		rpre 9873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
8		reeff1olem 15466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
9	7, 8	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
10	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpgt0 9878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 0 < 𝑧)
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 < e)
14		0xr 8209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		ere 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
16	15	rexri 8220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ*
17		elioo2 10134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e)))
18	14, 16, 17	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e))
19		reeff1oleme 15467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
20	18, 19	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
21	10, 12, 13, 20	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
22		1lt2 9296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
23		egt2lt3 12312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
24	23	simpli 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < e
25		1re 8161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		2re 9196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	25, 26, 15	lttri 8267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
28	22, 24, 27	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < e
29		1red 8177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
30	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ)
31		axltwlin 8230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
32	29, 30, 7, 31	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
33	28, 32	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e))
34	9, 21, 33	mpjaodan 803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
35		fvres 5656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
36	35	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
37	36	rexbiia 2545	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
38	34, 37	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
39		fvelrnb 5686	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
41	38, 40	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
42	41	ssriv 3228	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
43	6, 42	eqssi 3240	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
44		df-fo 5327	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
45	4, 43, 44	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
46		df-f1o 5328	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
47	1, 45, 46	mpbir2an 948	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  ran crn 4721   ↾ cres 4722   Fn wfn 5316  ⟶wf 5317  –1-1→wf1 5318  –onto→wfo 5319  –1-1-onto→wf1o 5320  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016  ℝ^*cxr 8196   < clt 8197  2c2 9177  3c3 9178  ℝ⁺crp 9866  (,)cioo 10101  expce 12174  eceu 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135  ax-pre-suploc 8136  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-map 6810  df-pm 6811  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-ioo 10105  df-ico 10107  df-icc 10108  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-bc 10987  df-ihash 11015  df-shft 11347  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-e 12181  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-ntr 14791  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-tx 14948  df-cncf 15266  df-limced 15351  df-dvap 15352

This theorem is referenced by:  reefiso  15472  dfrelog  15555  relogf1o  15556  reeflog  15558