Theorem reeff1o 14949

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 11846	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 5460	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 5404	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 5413	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		rpre 9729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
8		reeff1olem 14947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
9	7, 8	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
10	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpgt0 9734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 0 < 𝑧)
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 < e)
14		0xr 8068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		ere 11816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
16	15	rexri 8079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ*
17		elioo2 9990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e)))
18	14, 16, 17	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e))
19		reeff1oleme 14948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
20	18, 19	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
21	10, 12, 13, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
22		1lt2 9154	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
23		egt2lt3 11926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
24	23	simpli 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < e
25		1re 8020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		2re 9054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	25, 26, 15	lttri 8126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
28	22, 24, 27	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < e
29		1red 8036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
30	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ)
31		axltwlin 8089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
32	29, 30, 7, 31	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
33	28, 32	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e))
34	9, 21, 33	mpjaodan 799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
35		fvres 5579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
36	35	eqeq1d 2202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
37	36	rexbiia 2509	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
38	34, 37	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
39		fvelrnb 5605	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
41	38, 40	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
42	41	ssriv 3184	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
43	6, 42	eqssi 3196	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
44		df-fo 5261	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
45	4, 43, 44	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
46		df-f1o 5262	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
47	1, 45, 46	mpbir2an 944	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ran crn 4661   ↾ cres 4662   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  –1-1→wf1 5252  –onto→wfo 5253  –1-1-onto→wf1o 5254  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056  2c2 9035  3c3 9036  ℝ⁺crp 9722  (,)cioo 9957  expce 11788  eceu 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-e 11795  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by:  reefiso  14953  dfrelog  15036  relogf1o  15037  reeflog  15039