Theorem reeff1o 13334

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 11641	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 5393	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 5337	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 5346	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		rpre 9596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
8		reeff1olem 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
9	7, 8	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
10	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpgt0 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
12	11	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 0 < 𝑧)
13		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → 𝑧 < e)
14		0xr 7945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		ere 11611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
16	15	rexri 7956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ*
17		elioo2 9857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e)))
18	14, 16, 17	mp2an 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e))
19		reeff1oleme 13333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
20	18, 19	sylbir 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
21	10, 12, 13, 20	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
22		1lt2 9026	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
23		egt2lt3 11720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
24	23	simpli 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < e
25		1re 7898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		2re 8927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	25, 26, 15	lttri 8003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
28	22, 24, 27	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < e
29		1red 7914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
30	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ)
31		axltwlin 7966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
32	29, 30, 7, 31	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < e → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e)))
33	28, 32	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < 𝑧 ∨ 𝑧 < e))
34	9, 21, 33	mpjaodan 788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
35		fvres 5510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
36	35	eqeq1d 2174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
37	36	rexbiia 2481	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
38	34, 37	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
39		fvelrnb 5534	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
41	38, 40	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
42	41	ssriv 3146	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
43	6, 42	eqssi 3158	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
44		df-fo 5194	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
45	4, 43, 44	mpbir2an 932	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
46		df-f1o 5195	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
47	1, 45, 46	mpbir2an 932	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982  ran crn 4605   ↾ cres 4606   Fn wfn 5183  ⟶wf 5184  –1-1→wf1 5185  –onto→wfo 5186  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933  2c2 8908  3c3 8909  ℝ⁺crp 9589  (,)cioo 9824  expce 11583  eceu 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-e 11590  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  reefiso  13338  dfrelog  13421  relogf1o  13422  reeflog  13424