Theorem cn1lem 12080

Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cn1lem.1	⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2	⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cn1lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem cn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		cn1lem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
6		cn1lem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelcdmi 5842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
9	6	ffvelcdmi 5842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 8637	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 11947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
13	2, 3	subcld 8637	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	abscld 11947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
15		rpre 10061	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		lelttr 8414	. . . . 5 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	5, 18	mpand 433	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21		breq2 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥))
22	21	imbi1d 231	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
23	22	ralbidv 2550	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
24	23	rspcev 2929	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
25	1, 20, 24	syl2anc 415	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497  ℝ⁺crp 10054  abscabs 11763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  abscn2  12081  cjcn2  12082  recn2  12083  imcn2  12084