ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cn1lem GIF version

Theorem cn1lem 10763
Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cn1lem.1 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cn1lem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3 simpll 497 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 cn1lem.2 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 404 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
6 cn1lem.1 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 5447 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
82, 7syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
96ffvelrni 5447 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
103, 9syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
118, 10subcld 7854 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
1211abscld 10675 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
132, 3subcld 7854 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
1413abscld 10675 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
15 rpre 9201 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 474 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 lelttr 7634 . . . . 5 (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1175 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
195, 18mpand 421 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2019ralrimiva 2447 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
21 breq2 3855 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥))
2221imbi1d 230 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2322ralbidv 2381 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2423rspcev 2723 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
251, 20, 24syl2anc 404 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361   class class class wbr 3851  wf 5024  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7409  cr 7410   < clt 7583  cle 7584  cmin 7714  +crp 9195  abscabs 10491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493
This theorem is referenced by:  abscn2  10764  cjcn2  10765  recn2  10766  imcn2  10767
  Copyright terms: Public domain W3C validator