ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ledivge1le GIF version

Theorem ledivge1le 9302
Description: If a number is less than or equal to another number, the number divided by a positive number greater than or equal to one is less than or equal to the other number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ledivge1le ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ledivge1le
StepHypRef Expression
1 divle1le 9301 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴𝐵))
21adantr 271 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴𝐵))
3 rerpdivcl 9263 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 271 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5 1red 7600 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
6 rpre 9239 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ)
76adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
8 letr 7665 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
94, 5, 7, 8syl3anc 1181 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
109expd 255 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
112, 10sylbird 169 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
1211com23 78 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
1312expimpd 356 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
1413ex 114 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ+ → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))))
15143imp1 1163 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)
16 simp1 946 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
176adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
18 0lt1 7707 . . . . . . . . . 10 0 < 1
19 0red 7586 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
20 1red 7600 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
21 ltletr 7671 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
2219, 20, 6, 21syl3anc 1181 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ+ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
2318, 22mpani 422 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 ≤ 𝐶 → 0 < 𝐶))
2423imp 123 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶)
2517, 24jca 301 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
26253ad2ant3 969 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
27 rpregt0 9246 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
28273ad2ant2 968 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2916, 26, 283jca 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
3029adantr 271 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
31 lediv23 8451 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
3230, 31syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
3315, 32mpbird 166 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵)
3433ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 927  wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  cr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   < clt 7619  cle 7620   / cdiv 8236  +crp 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-rp 9234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator