Theorem rpcxpsqrt 13202

Description: The exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the square root function, and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpsqrt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem rpcxpsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 9029	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		rpcxpcl 13184	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 9585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ)
5		rpre 9549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpge0 9555	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
7	5, 6	resqrtcld 11045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
8	3	rpge0d 9589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐴↑𝑐(1 / 2)))
9	5, 6	sqrtge0d 11048	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘𝐴))
10		ax-1cn 7808	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		2halves 9045	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
13	12	oveq2i 5829	. . . 4 ⊢ (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴↑𝑐1)
14		halfcn 9030	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15		rpcxpadd 13186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
16	14, 14, 15	mp3an23 1311	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
17		rpcxp1 13180	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
18	13, 16, 17	3eqtr3a 2214	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
19	3	rpcnd 9587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
20	19	sqvald 10530	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
21		resqrtth 10913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
22	5, 6, 21	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
23	18, 20, 22	3eqtr4d 2200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
24	4, 7, 8, 9, 23	sq11d 10566	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   ≤ cle 7896   / cdiv 8528  2c2 8867  ℝ⁺crp 9542  ↑cexp 10400  √csqrt 10878  ↑_𝑐ccxp 13138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-pre-suploc 7836  ax-addf 7837  ax-mulf 7838

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-of 6026  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-map 6588  df-pm 6589  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-ioo 9778  df-ico 9780  df-icc 9781  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-fac 10582  df-bc 10604  df-ihash 10632  df-shft 10697  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233  df-ef 11527  df-e 11528  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-cncf 12918  df-limced 12985  df-dvap 12986  df-relog 13139  df-rpcxp 13140

This theorem is referenced by:  logsqrt  13203  sqrt2cxp2logb9e3  13252