Theorem rpcxpsqrt 14503

Description: The exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the square root function, and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpsqrt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem rpcxpsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 9135	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		rpcxpcl 14485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 9699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ)
5		rpre 9663	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpge0 9669	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
7	5, 6	resqrtcld 11175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
8	3	rpge0d 9703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝐴↑𝑐(1 / 2)))
9	5, 6	sqrtge0d 11178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘𝐴))
10		ax-1cn 7907	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		2halves 9151	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
13	12	oveq2i 5889	. . . 4 ⊢ (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴↑𝑐1)
14		halfcn 9136	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15		rpcxpadd 14487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
16	14, 14, 15	mp3an23 1329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
17		rpcxp1 14481	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
18	13, 16, 17	3eqtr3a 2234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
19	3	rpcnd 9701	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
20	19	sqvald 10654	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
21		resqrtth 11043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
22	5, 6, 21	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
23	18, 20, 22	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
24	4, 7, 8, 9, 23	sq11d 10690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819   ≤ cle 7996   / cdiv 8632  2c2 8973  ℝ⁺crp 9656  ↑cexp 10522  √csqrt 11008  ↑_𝑐ccxp 14439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-e 11660  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13594  df-xmet 13595  df-met 13596  df-bl 13597  df-mopn 13598  df-top 13659  df-topon 13672  df-bases 13704  df-ntr 13757  df-cn 13849  df-cnp 13850  df-tx 13914  df-cncf 14219  df-limced 14286  df-dvap 14287  df-relog 14440  df-rpcxp 14441

This theorem is referenced by:  logsqrt  14504  sqrt2cxp2logb9e3  14554