ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpcxpsqrt GIF version

Theorem rpcxpsqrt 14745
Description: The exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the square root function, and thus serves as a suitable generalization to other ๐‘›-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
rpcxpsqrt (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) = (โˆšโ€˜๐ด))

Proof of Theorem rpcxpsqrt
StepHypRef Expression
1 halfre 9151 . . . 4 (1 / 2) โˆˆ โ„
2 rpcxpcl 14727 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) โˆˆ โ„+)
31, 2mpan2 425 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) โˆˆ โ„+)
43rpred 9715 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) โˆˆ โ„)
5 rpre 9679 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 rpge0 9685 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
75, 6resqrtcld 11191 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
83rpge0d 9719 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)))
95, 6sqrtge0d 11194 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด))
10 ax-1cn 7923 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
11 2halves 9167 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
1312oveq2i 5902 . . . 4 (๐ดโ†‘๐‘((1 / 2) + (1 / 2))) = (๐ดโ†‘๐‘1)
14 halfcn 9152 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
15 rpcxpadd 14729 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘((1 / 2) + (1 / 2))) = ((๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) ยท (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2))))
1614, 14, 15mp3an23 1340 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘((1 / 2) + (1 / 2))) = ((๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) ยท (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2))))
17 rpcxp1 14723 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘1) = ๐ด)
1813, 16, 173eqtr3a 2246 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) ยท (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2))) = ๐ด)
193rpcnd 9717 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
2019sqvald 10670 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘(1 / 2))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) ยท (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2))))
21 resqrtth 11059 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด)
225, 6, 21syl2anc 411 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด)
2318, 20, 223eqtr4d 2232 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘(1 / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2))
244, 7, 8, 9, 23sq11d 10706 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 / 2)) = (โˆšโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  โ„cr 7829  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835   โ‰ค cle 8012   / cdiv 8648  2c2 8989  โ„+crp 9672  โ†‘cexp 10538  โˆšcsqrt 11024  โ†‘๐‘ccxp 14681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950  ax-pre-suploc 7951  ax-addf 7952  ax-mulf 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-of 6101  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-map 6668  df-pm 6669  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-ioo 9911  df-ico 9913  df-icc 9914  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-fac 10725  df-bc 10747  df-ihash 10775  df-shft 10843  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381  df-ef 11675  df-e 11676  df-rest 12718  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-ntr 13999  df-cn 14091  df-cnp 14092  df-tx 14156  df-cncf 14461  df-limced 14528  df-dvap 14529  df-relog 14682  df-rpcxp 14683
This theorem is referenced by:  logsqrt  14746  sqrt2cxp2logb9e3  14796
  Copyright terms: Public domain W3C validator