Theorem isumshft 11098

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumshft.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3	⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isumshft	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zaddcld 9029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4		isumshft.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
5	4	eleq2i 2166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
6	5	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
7	6	adantl 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑥 ∈ 𝑊)
8		isumshft.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ralrimiva 2464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
11		nfcsb1v 2985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴
12	11	nfel1 2251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
13		csbeq1a 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → 𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
15	12, 14	rspc 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
17		eqid 2100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)
18	17	fvmpts 5431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴)
19	7, 16, 18	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴)
20	19, 16	eqeltrd 2176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
21	4	eleq2i 2166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
22	2	zcnd 9026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
23		eluzelcn 9187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23, 4	eleq2s 2194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 → 𝑚 ∈ ℂ)
25		zex 8915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ V
26		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
27		uzssz 9195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
28	26, 27	eqsstri 3079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
29	25, 28	ssexi 4006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 ∈ V
30	29	mptex 5578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
31	30	shftval 10438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
32	22, 24, 31	syl2an 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
33		eqidd 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
34		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
35	34	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
36	9	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
37	1	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	2	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	37, 38	zaddcld 9029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
40		eluzelz 9185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40, 26	eleq2s 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
42	41	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
43	38, 42	zaddcld 9029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ ℤ)
44	37	zred 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ)
45	42	zred 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	38	zred 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℝ)
47	26	eleq2i 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	47	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50		eluzle 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
52	44, 45, 46, 51	leadd1dd 8187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))
53	42	zcnd 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
54	38	zcnd 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
55	53, 54	addcomd 7784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) = (𝐾 + 𝑘))
56	52, 55	breqtrd 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐾 + 𝑘))
57		eluz2 9182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐾 + 𝑘)))
58	39, 43, 56, 57	syl3anbrc 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
59	58, 4	syl6eleqr 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
60	35, 36, 59	rspcdva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
61	33, 60	fvmpt2d 5439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
62		eqidd 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))
63	34	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 = (𝐾 + 𝑘)) → 𝐴 = 𝐵)
64	62, 63, 59, 60	fvmptd 5434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = 𝐵)
65	61, 64	eqtr4d 2135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
66	65	ralrimiva 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
67		nffvmpt1 5364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)
68	67	nfeq1 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
69		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
70		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
71	70	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
72	69, 71	eqeq12d 2114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
73	68, 72	rspc 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
74	66, 73	mpan9 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
75	74	ralrimiva 2464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
76	75	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
77	1	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
78	2	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
79		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ 𝑊)
80	79, 4	syl6eleq 2192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
81		eluzsub 9205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
82	77, 78, 80, 81	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
83	82, 26	syl6eleqr 2193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍)
84		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
85		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))
86	85	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
87	84, 86	eqeq12d 2114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))))
88	87	rspccva 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
89	76, 83, 88	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
90		pncan3 7841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
91	22, 24, 90	syl2an 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
92	91	fveq2d 5357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
93	32, 89, 92	3eqtrrd 2137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
94	21, 93	sylan2br 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
95		addcl 7617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
96	95	adantl 273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
97	3, 20, 94, 96	seq3feq 10086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)))
98	97	breq1d 3885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
99	30	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
100	26	eleq2i 2166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
101	100	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
102	101	adantl 273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑍)
103	60	ralrimiva 2464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
104	103	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
105		nfcsb1v 2985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
106	105	nfel1 2251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
107		csbeq1a 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
108	107	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
109	106, 108	rspc 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
110	102, 104, 109	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
111		eqid 2100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
112	111	fvmpts 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
113	102, 110, 112	syl2anc 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
114	113, 110	eqeltrd 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
115	99, 1, 2, 114, 96	iser3shft 10954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
116	98, 115	bitr4d 190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
117	116	iotabidv 5045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
118		df-fv 5067	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
119		df-fv 5067	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥)
120	117, 118, 119	3eqtr4g 2157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
121		eqidd 2101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
122	8	fmpttd 5507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
123	122	ffvelrnda 5487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
124	4, 3, 121, 123	isum 10993	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))))
125		eqidd 2101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
126	122	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
127		eluzelcn 9187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
128	127, 26	eleq2s 2194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
129		addcom 7770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
130	22, 128, 129	syl2an 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
131		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
132	131, 26	syl6eleq 2192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
133		eluzadd 9204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
134	132, 2, 133	syl2anr 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
135	130, 134	eqeltrd 2176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
136	135, 4	syl6eleqr 2193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
137	136	ralrimiva 2464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
138	70	eleq1d 2168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
139	138	rspccva 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
140	137, 139	sylan 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
141	126, 140	ffvelrnd 5488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
142	74, 141	eqeltrd 2176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
143	26, 1, 125, 142	isum 10993	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
144	120, 124, 143	3eqtr4d 2142	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
145		sumfct 10982	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴)
146	9, 145	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴)
147		sumfct 10982	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
148	103, 147	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
149	144, 146, 148	3eqtr3d 2140	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  Vcvv 2641  ⦋csb 2955   class class class wbr 3875   ↦ cmpt 3929  ℩cio 5022  ⟶wf 5055  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498   + caddc 7503   ≤ cle 7673   − cmin 7804  ℤcz 8906  ℤ_≥cuz 9176  seqcseq 10059   shift cshi 10427   ⇝ cli 10886  Σcsu 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-frec 6218  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-ihash 10363  df-shft 10428  df-cj 10455  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-clim 10887  df-sumdc 10962

This theorem is referenced by:  eftlub  11194