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Theorem isumshft 11493
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumshft.2 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isumshft (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
31, 2zaddcld 9377 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
65biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑥𝑊)
76adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑥𝑊)
8 isumshft.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
98ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑗𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ∀𝑗𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
11 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑥 / 𝑗𝐴
1211nfel1 2330 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
13 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑗𝐴)
1413eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑥 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1512, 14rspc 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑊 → (∀𝑗𝑊 𝐴 ∈ ℂ → 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
17 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑊𝐴) = (𝑗𝑊𝐴)
1817fvmpts 5594 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑊𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑗𝐴)
197, 16, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑗𝐴)
2019, 16eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
214eleq2i 2244 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
222zcnd 9374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
23 eluzelcn 9537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
2423, 4eleq2s 2272 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑊𝑚 ∈ ℂ)
25 zex 9260 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ∈ V
26 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (ℤ𝑀)
27 uzssz 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2826, 27eqsstri 3187 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 ⊆ ℤ
2925, 28ssexi 4141 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
3029mptex 5742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝐵) ∈ V
3130shftval 10829 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
3222, 24, 31syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
33 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵))
34 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
3534eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
369adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑗𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
371adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
382adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
3937, 38zaddcld 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
40 eluzelz 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140, 26eleq2s 2272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
4241adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4338, 42zaddcld 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ ℤ)
4437zred 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ)
4542zred 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
4638zred 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐾 ∈ ℝ)
4726eleq2i 2244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4847biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
50 eluzle 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
5244, 45, 46, 51leadd1dd 8514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))
5342zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
5438zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
5553, 54addcomd 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐾) = (𝐾 + 𝑘))
5652, 55breqtrd 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐾 + 𝑘))
57 eluz2 9532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐾 + 𝑘)))
5839, 43, 56, 57syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
5958, 4eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
6035, 36, 59rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6133, 60fvmpt2d 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
62 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑗𝑊𝐴) = (𝑗𝑊𝐴))
6334adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 = (𝐾 + 𝑘)) → 𝐴 = 𝐵)
6462, 63, 59, 60fvmptd 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = 𝐵)
6561, 64eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
6665ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
67 nffvmpt1 5526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛)
6867nfeq1 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
69 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
70 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
7170fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
7269, 71eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
7368, 72rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
7466, 73mpan9 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
7574ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
7675adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
771adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
782adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
79 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚𝑊)
8079, 4eleqtrdi 2270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
81 eluzsub 9555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
8277, 78, 80, 81syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
8382, 26eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ 𝑍)
84 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
85 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚𝐾)))
8685fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
8784, 86eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾)))))
8887rspccva 2840 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
8976, 83, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
90 pncan3 8163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
9122, 24, 90syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
9291fveq2d 5519 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
9332, 89, 923eqtrrd 2215 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
9421, 93sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
95 addcl 7935 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9695adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
973, 20, 94, 96seq3feq 10469 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)))
9897breq1d 4013 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
9930a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ∈ V)
10026eleq2i 2244 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑍𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
101100biimpri 133 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥𝑍)
102101adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥𝑍)
10360ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
104103adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
105 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
106105nfel1 2330 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
107 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
108107eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
109106, 108rspc 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
110102, 104, 109sylc 62 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
111 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
112111fvmpts 5594 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑍𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐵)
113102, 110, 112syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐵)
114113, 110eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
11599, 1, 2, 114, 96iser3shft 11349 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
11698, 115bitr4d 191 . . . . 5 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
117116iotabidv 5199 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
118 df-fv 5224 . . . 4 ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥)
119 df-fv 5224 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥)
120117, 118, 1193eqtr4g 2235 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
121 eqidd 2178 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
1228fmpttd 5671 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
123122ffvelcdmda 5651 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
1244, 3, 121, 123isum 11388 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))))
125 eqidd 2178 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
126122adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
127 eluzelcn 9537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
128127, 26eleq2s 2272 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
129 addcom 8092 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
13022, 128, 129syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
131 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
132131, 26eleqtrdi 2270 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
133 eluzadd 9554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
134132, 2, 133syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
135130, 134eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
136135, 4eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
137136ralrimiva 2550 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
13870eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
139138rspccva 2840 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
140137, 139sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
141126, 140ffvelcdmd 5652 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
14274, 141eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
14326, 1, 125, 142isum 11388 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
144120, 124, 1433eqtr4d 2220 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
145 sumfct 11377 . . 3 (∀𝑗𝑊 𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗𝑊 𝐴)
1469, 145syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗𝑊 𝐴)
147 sumfct 11377 . . 3 (∀𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘𝑍 𝐵)
148103, 147syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘𝑍 𝐵)
149144, 146, 1483eqtr3d 2218 1 (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  csb 3057   class class class wbr 4003  cmpt 4064  cio 5176  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808   + caddc 7813  cle 7991  cmin 8126  cz 9251  cuz 9526  seqcseq 10442   shift cshi 10818  cli 11281  Σcsu 11356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-shft 10819  df-cj 10846  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357
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