ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumshft GIF version

Theorem isumshft 11516
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumshft.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ 𝐴 = 𝐡)
isumshft.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
isumshft.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumshft.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isumshft (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝑗,π‘˜,𝐾   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑗,π‘Š,π‘˜   𝐡,𝑗   𝑗,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(π‘˜)   𝑀(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
31, 2zaddcld 9397 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . . . . 13 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2256 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ π‘Š ↔ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
65biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
76adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
8 isumshft.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
98ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ π‘Š 𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ βˆ€π‘— ∈ π‘Š 𝐴 ∈ β„‚)
11 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄
1211nfel1 2343 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄ ∈ β„‚
13 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = π‘₯ β†’ 𝐴 = ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄)
1413eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
1512, 14rspc 2850 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (βˆ€π‘— ∈ π‘Š 𝐴 ∈ β„‚ β†’ ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
17 eqid 2189 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)
1817fvmpts 5610 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄ ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄)
197, 16, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = ⦋π‘₯ / π‘—β¦Œπ΄)
2019, 16eqeltrd 2266 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
214eleq2i 2256 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ π‘Š ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
222zcnd 9394 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
23 eluzelcn 9557 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2423, 4eleq2s 2284 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ π‘Š β†’ π‘š ∈ β„‚)
25 zex 9280 . . . . . . . . . . . . . 14 β„€ ∈ V
26 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
27 uzssz 9565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
2826, 27eqsstri 3202 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 βŠ† β„€
2925, 28ssexi 4156 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
3029mptex 5758 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V
3130shftval 10852 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
3222, 24, 31syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
33 eqidd 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
34 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ 𝐴 = 𝐡)
3534eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ 𝐡 ∈ β„‚))
369adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘— ∈ π‘Š 𝐴 ∈ β„‚)
371adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
382adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3937, 38zaddcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
40 eluzelz 9555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140, 26eleq2s 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4241adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4338, 42zaddcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ β„€)
4437zred 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4542zred 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4638zred 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
4726eleq2i 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4847biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
50 eluzle 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
5244, 45, 46, 51leadd1dd 8534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + 𝐾) ≀ (π‘˜ + 𝐾))
5342zcnd 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5438zcnd 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5553, 54addcomd 8126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 𝐾) = (𝐾 + π‘˜))
5652, 55breqtrd 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝐾 + π‘˜))
57 eluz2 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 + π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐾 + π‘˜) ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝐾 + π‘˜)))
5839, 43, 56, 57syl3anbrc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
5958, 4eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
6035, 36, 59rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6133, 60fvmpt2d 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
62 eqidd 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
6334adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 = (𝐾 + π‘˜)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
6462, 63, 59, 60fvmptd 5613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = 𝐡)
6561, 64eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)))
6665ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)))
67 nffvmpt1 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)
6867nfeq1 2342 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))
69 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
70 oveq2 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝐾 + π‘˜) = (𝐾 + 𝑛))
7170fveq2d 5534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
7269, 71eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))))
7368, 72rspc 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))))
7466, 73mpan9 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
7574ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
7675adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
771adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
782adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
79 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ π‘Š)
8079, 4eleqtrdi 2282 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
81 eluzsub 9575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8277, 78, 80, 81syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8382, 26eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍)
84 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
85 oveq2 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)))
8685fveq2d 5534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
8784, 86eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)))))
8887rspccva 2855 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∧ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
8976, 83, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
90 pncan3 8183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)) = π‘š)
9122, 24, 90syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)) = π‘š)
9291fveq2d 5534 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
9332, 89, 923eqtrrd 2227 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š))
9421, 93sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š))
95 addcl 7954 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
9695adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
973, 20, 94, 96seq3feq 10490 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)))
9897breq1d 4028 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
9930a1i 9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V)
10026eleq2i 2256 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑍 ↔ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
101100biimpri 133 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ 𝑍)
102101adantl 277 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑍)
10360ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ β„‚)
104103adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ β„‚)
105 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅
106105nfel1 2343 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
107 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘₯ β†’ 𝐡 = ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅)
108107eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
109106, 108rspc 2850 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ β„‚ β†’ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
110102, 104, 109sylc 62 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
111 eqid 2189 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
112111fvmpts 5610 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅)
113102, 110, 112syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ⦋π‘₯ / π‘˜β¦Œπ΅)
114113, 110eqeltrd 2266 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
11599, 1, 2, 114, 96iser3shft 11372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
11698, 115bitr4d 191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯))
117116iotabidv 5214 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯))
118 df-fv 5239 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
119 df-fv 5239 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯)
120117, 118, 1193eqtr4g 2247 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))))
121 eqidd 2190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
1228fmpttd 5687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴):π‘ŠβŸΆβ„‚)
123122ffvelcdmda 5667 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1244, 3, 121, 123isum 11411 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))))
125 eqidd 2190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
126122adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴):π‘ŠβŸΆβ„‚)
127 eluzelcn 9557 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
128127, 26eleq2s 2284 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
129 addcom 8112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (𝐾 + π‘˜) = (π‘˜ + 𝐾))
13022, 128, 129syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) = (π‘˜ + 𝐾))
131 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
132131, 26eleqtrdi 2282 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
133 eluzadd 9574 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
134132, 2, 133syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
135130, 134eqeltrd 2266 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
136135, 4eleqtrrdi 2283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
137136ralrimiva 2563 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
13870eleq1d 2258 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š))
139138rspccva 2855 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š)
140137, 139sylan 283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š)
141126, 140ffvelcdmd 5668 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∈ β„‚)
14274, 141eqeltrd 2266 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
14326, 1, 125, 142isum 11411 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))))
144120, 124, 1433eqtr4d 2232 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
145 sumfct 11400 . . 3 (βˆ€π‘— ∈ π‘Š 𝐴 ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴)
1469, 145syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴)
147 sumfct 11400 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ β„‚ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
148103, 147syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
149144, 146, 1483eqtr3d 2230 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468  Vcvv 2752  β¦‹csb 3072   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  β„©cio 5191  βŸΆwf 5227  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„‚cc 7827   + caddc 7832   ≀ cle 8011   βˆ’ cmin 8146  β„€cz 9271  β„€β‰₯cuz 9546  seqcseq 10463   shift cshi 10841   ⇝ cli 11304  Ξ£csu 11379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-ihash 10774  df-shft 10842  df-cj 10869  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380
This theorem is referenced by:  eftlub  11716
  Copyright terms: Public domain W3C validator