Theorem isumshft 11967

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumshft.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3	⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isumshft	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zaddcld 9541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4		isumshft.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
5	4	eleq2i 2276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
6	5	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
7	6	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑥 ∈ 𝑊)
8		isumshft.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ralrimiva 2583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
11		nfcsb1v 3137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴
12	11	nfel1 2363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
13		csbeq1a 3113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → 𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑥 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
15	12, 14	rspc 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
17		eqid 2209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)
18	17	fvmpts 5685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴)
19	7, 16, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑗⦌𝐴)
20	19, 16	eqeltrd 2286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑥) ∈ ℂ)
21	4	eleq2i 2276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
22	2	zcnd 9538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
23		eluzelcn 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23, 4	eleq2s 2304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 → 𝑚 ∈ ℂ)
25		zex 9423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ V
26		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
27		uzssz 9710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
28	26, 27	eqsstri 3236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
29	25, 28	ssexi 4201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 ∈ V
30	29	mptex 5838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
31	30	shftval 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
32	22, 24, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
33		eqidd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
34		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
35	34	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
36	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ)
37	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	37, 38	zaddcld 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
40		eluzelz 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40, 26	eleq2s 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
43	38, 42	zaddcld 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ ℤ)
44	37	zred 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ)
45	42	zred 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
46	38	zred 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℝ)
47	26	eleq2i 2276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	47	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50		eluzle 9702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
52	44, 45, 46, 51	leadd1dd 8674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))
53	42	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
54	38	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
55	53, 54	addcomd 8265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) = (𝐾 + 𝑘))
56	52, 55	breqtrd 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐾 + 𝑘))
57		eluz2 9696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐾 + 𝑘)))
58	39, 43, 56, 57	syl3anbrc 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
59	58, 4	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
60	35, 36, 59	rspcdva 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
61	33, 60	fvmpt2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
62		eqidd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))
63	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 = (𝐾 + 𝑘)) → 𝐴 = 𝐵)
64	62, 63, 59, 60	fvmptd 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = 𝐵)
65	61, 64	eqtr4d 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
66	65	ralrimiva 2583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
67		nffvmpt1 5614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)
68	67	nfeq1 2362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
69		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
70		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
71	70	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
72	69, 71	eqeq12d 2224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
73	68, 72	rspc 2881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
74	66, 73	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
75	74	ralrimiva 2583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
77	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
78	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
79		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ 𝑊)
80	79, 4	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
81		eluzsub 9720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
82	77, 78, 80, 81	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
83	82, 26	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍)
84		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
85		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))
86	85	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
87	84, 86	eqeq12d 2224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))))
88	87	rspccva 2886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
89	76, 83, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
90		pncan3 8322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
91	22, 24, 90	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
92	91	fveq2d 5607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
93	32, 89, 92	3eqtrrd 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
94	21, 93	sylan2br 288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
95		addcl 8092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
96	95	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
97	3, 20, 94, 96	seq3feq 10669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)))
98	97	breq1d 4072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
99	30	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
100	26	eleq2i 2276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
101	100	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
102	101	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑍)
103	60	ralrimiva 2583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
105		nfcsb1v 3137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
106	105	nfel1 2363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
107		csbeq1a 3113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
108	107	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
109	106, 108	rspc 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
110	102, 104, 109	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
111		eqid 2209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
112	111	fvmpts 5685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
113	102, 110, 112	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
114	113, 110	eqeltrd 2286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
115	99, 1, 2, 114, 96	iser3shft 11823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
116	98, 115	bitr4d 191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
117	116	iotabidv 5277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
118		df-fv 5302	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
119		df-fv 5302	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥)
120	117, 118, 119	3eqtr4g 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
121		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
122	8	fmpttd 5763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
123	122	ffvelcdmda 5743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
124	4, 3, 121, 123	isum 11862	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))))
125		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
126	122	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
127		eluzelcn 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
128	127, 26	eleq2s 2304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
129		addcom 8251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
130	22, 128, 129	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
131		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
132	131, 26	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
133		eluzadd 9719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
134	132, 2, 133	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
135	130, 134	eqeltrd 2286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
136	135, 4	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
137	136	ralrimiva 2583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
138	70	eleq1d 2278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
139	138	rspccva 2886	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
140	137, 139	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
141	126, 140	ffvelcdmd 5744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
142	74, 141	eqeltrd 2286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
143	26, 1, 125, 142	isum 11862	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
144	120, 124, 143	3eqtr4d 2252	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
145		sumfct 11851	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴)
146	9, 145	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴)
147		sumfct 11851	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
148	103, 147	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
149	144, 146, 148	3eqtr3d 2250	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  Vcvv 2779  ⦋csb 3104   class class class wbr 4062   ↦ cmpt 4124  ℩cio 5252  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965   + caddc 7970   ≤ cle 8150   − cmin 8285  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  seqcseq 10636   shift cshi 11291   ⇝ cli 11755  Σcsu 11830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-shft 11292  df-cj 11319  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831

This theorem is referenced by:  eftlub  12167