Theorem dvdsprime 12847

Description: If 𝑀 divides a prime, then 𝑀 is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprime	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Proof of Theorem dvdsprime

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12842	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))))
2		breq1 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑀 ∥ 𝑃))
3		eqeq1 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑀 = 1))
4		eqeq1 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 𝑃 ↔ 𝑀 = 𝑃))
5	3, 4	orbi12d 801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃)))
6		orcom 736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
8	2, 7	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ↔ (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))))
9	8	rspccva 2922	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
10	9	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
11	1, 10	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
12		prmz 12836	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
13		iddvds 12518	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 4117	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑃 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	15, 16	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 𝑃 → 𝑀 ∥ 𝑃))
18		1dvds 12519	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
19	12, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∥ 𝑃)
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∥ 𝑃)
21		breq1 4117	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
22	20, 21	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 𝑃))
23	17, 22	jaod 725	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∥ 𝑃))
24	11, 23	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  1c1 8144  ℕcn 9257  2c2 9308  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874   ∥ cdvds 12501  ℙcprime 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-dvds 12502  df-prm 12833

This theorem is referenced by:  prm2orodd  12851  pythagtriplem4  12994  2lgs  16106