ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsprime GIF version

Theorem dvdsprime 12125
Description: If 𝑀 divides a prime, then 𝑀 is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprime ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))

Proof of Theorem dvdsprime
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm2 12120 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))))
2 breq1 4008 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑃𝑀𝑃))
3 eqeq1 2184 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑀 = 1))
4 eqeq1 2184 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 𝑃𝑀 = 𝑃))
53, 4orbi12d 793 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃)))
6 orcom 728 . . . . . . 7 ((𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1))
75, 6bitrdi 196 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
82, 7imbi12d 234 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ↔ (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1))))
98rspccva 2842 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
109adantll 476 . . 3 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
111, 10sylanb 284 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
12 prmz 12114 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
13 iddvds 11814 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
1514adantr 276 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃𝑃)
16 breq1 4008 . . . 4 (𝑀 = 𝑃 → (𝑀𝑃𝑃𝑃))
1715, 16syl5ibrcom 157 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 𝑃𝑀𝑃))
18 1dvds 11815 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
1912, 18syl 14 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∥ 𝑃)
2019adantr 276 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∥ 𝑃)
21 breq1 4008 . . . 4 (𝑀 = 1 → (𝑀𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
2220, 21syl5ibrcom 157 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 1 → 𝑀𝑃))
2317, 22jaod 717 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 = 𝑃𝑀 = 1) → 𝑀𝑃))
2411, 23impbid 129 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4005  cfv 5218  1c1 7815  cn 8922  2c2 8973  cz 9256  cuz 9531  cdvds 11797  cprime 12110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-prm 12111
This theorem is referenced by:  prm2orodd  12129  pythagtriplem4  12271
  Copyright terms: Public domain W3C validator