Theorem issubg4m 13770

Description: A subgroup is an inhabited subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg4m	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑤,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑤   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑤

Allowed substitution hint:   − (𝑤)

Proof of Theorem issubg4m

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 13751	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	3	subg0cl 13759	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5		elex2 2817	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
7		issubg4.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	7	subgsubcl 13762	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
9	8	3expb 1228	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
10	9	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
11	2, 6, 10	3jca 1201	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆))
12		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
14		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 − 𝑦) = ((0g‘𝐺) − 𝑦))
15	14	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
16	15	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
18		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
19		r19.2m 3579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
21		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑥))
22	21	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
23	22	rspcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
25		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26	25	sselda 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	1, 3, 7	grpsubid 13657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
28	27	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
29	26, 28	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
30	29	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
31	24, 30	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
32	31	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	20, 33	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
35	16, 17, 34	rspcdva 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)
36	1, 3	grpidcl 13602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
38	25	sselda 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
39		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
40		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	1, 39, 40, 7	grpsubval 13619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
42	37, 38, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
43		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
44	1, 40	grpinvcl 13621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
45	43, 38, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
46	1, 39, 3	grplid 13604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
48	42, 47	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
49	48	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
50	49	ralbidva 2526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
52	35, 51	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
53		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑧))
54	53	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
55	54	rspccva 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
56	55	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
57		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
58	57	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
59	58	rspcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
60	56, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
61		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
62	26	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
65	63, 64	sseldd 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	1, 39, 7, 40, 61, 62, 65	grpsubinv 13646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
67	66	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
68	60, 67	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
69	68	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
70	69	ralrimdva 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
71	70	ralimdva 2597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
72	71	impancom 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
73	52, 72	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
74		oveq1 6020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
75	74	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
76	75	ralbidv 2530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
77	76	cbvralvw 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
78	73, 77	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
79		r19.26 2657	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
80	78, 52, 79	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
81	12, 13, 80	3jca 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
82	81	exp42 371	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
83	82	3impd 1245	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
84	1, 39, 40	issubg2m 13766	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
85	83, 84	sylibrd 169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
86	11, 85	impbid2 143	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  0_gc0g 13329  Grpcgrp 13573  inv_gcminusg 13574  -_gcsg 13575  SubGrpcsubg 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-subg 13747

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