Theorem issubg4m 13910

Description: A subgroup is an inhabited subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg4m	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑤,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑤   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑤

Allowed substitution hint:   − (𝑤)

Proof of Theorem issubg4m

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 13891	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	3	subg0cl 13899	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5		elex2 2830	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
7		issubg4.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	7	subgsubcl 13902	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
9	8	3expb 1231	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
10	9	ralrimivva 2624	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
11	2, 6, 10	3jca 1204	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆))
12		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
14		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 − 𝑦) = ((0g‘𝐺) − 𝑦))
15	14	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
16	15	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
18		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
19		r19.2m 3596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
21		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑥))
22	21	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
23	22	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
25		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26	25	sselda 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	1, 3, 7	grpsubid 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
28	27	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
29	26, 28	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
30	29	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
31	24, 30	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
32	31	rexlimdva 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	20, 33	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
35	16, 17, 34	rspcdva 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)
36	1, 3	grpidcl 13742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
38	25	sselda 3238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
39		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
40		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	1, 39, 40, 7	grpsubval 13759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
42	37, 38, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
43		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
44	1, 40	grpinvcl 13761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
45	43, 38, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
46	1, 39, 3	grplid 13744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
48	42, 47	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
49	48	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
50	49	ralbidva 2538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
52	35, 51	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
53		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑧))
54	53	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
55	54	rspccva 2920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
56	55	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
57		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
58	57	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
59	58	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
60	56, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
61		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
62	26	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
65	63, 64	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	1, 39, 7, 40, 61, 62, 65	grpsubinv 13786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
67	66	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
68	60, 67	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
69	68	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
70	69	ralrimdva 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
71	70	ralimdva 2609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
72	71	impancom 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
73	52, 72	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
74		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
75	74	eleq1d 2301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
76	75	ralbidv 2542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
77	76	cbvralvw 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
78	73, 77	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
79		r19.26 2669	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
80	78, 52, 79	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
81	12, 13, 80	3jca 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
82	81	exp42 371	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
83	82	3impd 1248	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
84	1, 39, 40	issubg2m 13906	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
85	83, 84	sylibrd 169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
86	11, 85	impbid2 143	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3211  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  0_gc0g 13469  Grpcgrp 13713  inv_gcminusg 13714  -_gcsg 13715  SubGrpcsubg 13884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-subg 13887

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