ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqord2 GIF version

Theorem eqord2 8557
Description: A strictly decreasing real function on a subset of is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
Assertion
Ref Expression
eqord2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord2
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
21negeqd 8267 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → -𝐴 = -𝐵)
3 ltord.2 . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
43negeqd 8267 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → -𝐴 = -𝑀)
5 ltord.3 . . . 4 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
65negeqd 8267 . . 3 (𝑥 = 𝐷 → -𝐴 = -𝑁)
7 ltord.4 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
8 ltord.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
98renegcld 8452 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
10 ltord2.6 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
118ralrimiva 2579 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
121eleq1d 2274 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1312rspccva 2876 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
1411, 13sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514adantrl 478 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantrr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 ltneg 8535 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
1910, 18sylibd 149 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → -𝐴 < -𝐵))
202, 4, 6, 7, 9, 19eqord1 8556 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ -𝑀 = -𝑁))
213eleq1d 2274 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
2221rspccva 2876 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2311, 22sylan 283 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2423adantrr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
2524recnd 8101 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
265eleq1d 2274 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2726rspccva 2876 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2811, 27sylan 283 . . . . 5 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2928adantrl 478 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3029recnd 8101 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3125, 30neg11ad 8379 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (-𝑀 = -𝑁𝑀 = 𝑁))
3220, 31bitrd 188 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1373  wcel 2176  wral 2484  wss 3166   class class class wbr 4044  cr 7924   < clt 8107  -cneg 8244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator