Theorem eqord2 8556

Description: A strictly decreasing real function on a subset of ℝ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐵 < 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
eqord2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ 𝑀 = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	negeqd 8266	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝐴 = -𝐵)
3		ltord.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
4	3	negeqd 8266	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → -𝐴 = -𝑀)
5		ltord.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
6	5	negeqd 8266	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → -𝐴 = -𝑁)
7		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
8		ltord.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 8451	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
10		ltord2.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐵 < 𝐴))
11	8	ralrimiva 2578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
12	1	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	rspccva 2875	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	11, 13	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	adantrl 478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	8	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		ltneg 8534	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
19	10, 18	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → -𝐴 < -𝐵))
20	2, 4, 6, 7, 9, 19	eqord1 8555	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ -𝑀 = -𝑁))
21	3	eleq1d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 2875	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	11, 22	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
25	24	recnd 8100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
26	5	eleq1d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
27	26	rspccva 2875	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	11, 27	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	28	adantrl 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	recnd 8100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	25, 30	neg11ad 8378	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (-𝑀 = -𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
32	20, 31	bitrd 188	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043  ℝcr 7923   < clt 8106  -cneg 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-sub 8244  df-neg 8245

This theorem is referenced by: (None)