Theorem eqord2 8802

Description: A strictly decreasing real function on a subset of ℝ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐵 < 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
eqord2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ 𝑀 = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	negeqd 8511	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝐴 = -𝐵)
3		ltord.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
4	3	negeqd 8511	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → -𝐴 = -𝑀)
5		ltord.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
6	5	negeqd 8511	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → -𝐴 = -𝑁)
7		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
8		ltord.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 8697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
10		ltord2.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐵 < 𝐴))
11	8	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
12	1	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	rspccva 2928	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	11, 13	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	adantrl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	8	adantrr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		ltneg 8780	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
19	10, 18	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → -𝐴 < -𝐵))
20	2, 4, 6, 7, 9, 19	eqord1 8801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ -𝑀 = -𝑁))
21	3	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 2928	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
23	11, 22	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
25	24	recnd 8344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
26	5	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
27	26	rspccva 2928	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	11, 27	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	28	adantrl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	recnd 8344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	25, 30	neg11ad 8623	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (-𝑀 = -𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
32	20, 31	bitrd 188	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350  -cneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by: (None)