Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqord2 GIF version

Theorem eqord2 8297
 Description: A strictly decreasing real function on a subset of ℝ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
Assertion
Ref Expression
eqord2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord2
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
21negeqd 8008 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → -𝐴 = -𝐵)
3 ltord.2 . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
43negeqd 8008 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → -𝐴 = -𝑀)
5 ltord.3 . . . 4 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
65negeqd 8008 . . 3 (𝑥 = 𝐷 → -𝐴 = -𝑁)
7 ltord.4 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
8 ltord.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
98renegcld 8193 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
10 ltord2.6 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
118ralrimiva 2509 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
121eleq1d 2209 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1312rspccva 2793 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
1411, 13sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514adantrl 470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantrr 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 ltneg 8275 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
1815, 16, 17syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -𝐵))
1910, 18sylibd 148 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → -𝐴 < -𝐵))
202, 4, 6, 7, 9, 19eqord1 8296 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ -𝑀 = -𝑁))
213eleq1d 2209 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
2221rspccva 2793 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2311, 22sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2423adantrr 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
2524recnd 7845 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
265eleq1d 2209 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2726rspccva 2793 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2811, 27sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2928adantrl 470 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3029recnd 7845 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3125, 30neg11ad 8120 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (-𝑀 = -𝑁𝑀 = 𝑁))
3220, 31bitrd 187 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ⊆ wss 3077   class class class wbr 3938  ℝcr 7670   < clt 7851  -cneg 7985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-addcom 7771  ax-addass 7773  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-apti 7786  ax-pre-ltadd 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4225  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-ltxr 7856  df-sub 7986  df-neg 7987 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator