Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isummulc2 GIF version

Theorem isummulc2 10820
 Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2089 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
4 summulc.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 isumcl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
75, 6mulcld 7508 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
87fmpttd 5453 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
98ffvelrnda 5434 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
101eleq2i 2154 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑍𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1110biimpri 131 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥𝑍)
1211adantl 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥𝑍)
134adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
146ralrimiva 2446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
16 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴
1716nfel1 2239 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
18 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑘𝐴)
1918eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑥 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
2017, 19rspc 2716 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ → 𝑥 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
2112, 15, 20sylc 61 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2213, 21mulcld 7508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 · 𝑥 / 𝑘𝐴) ∈ ℂ)
23 nfcv 2228 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
24 nfcv 2228 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
25 nfcv 2228 . . . . . . . . 9 𝑘 ·
2624, 25, 16nfov 5679 . . . . . . . 8 𝑘(𝐵 · 𝑥 / 𝑘𝐴)
2718oveq2d 5668 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝑥 / 𝑘𝐴))
28 eqid 2088 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
2923, 26, 27, 28fvmptf 5395 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍 ∧ (𝐵 · 𝑥 / 𝑘𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑥) = (𝐵 · 𝑥 / 𝑘𝐴))
3012, 22, 29syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑥) = (𝐵 · 𝑥 / 𝑘𝐴))
3130, 22eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑥) ∈ ℂ)
322, 31iseqseq3 9902 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)), ℂ) = seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))))
33 fveq2 5305 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3433eleq1d 2156 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
35 isumcl.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
3635, 6eqeltrd 2164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3736ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3837adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3934, 38, 12rspcdva 2727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
402, 39iseqseq3 9902 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑀( + , 𝐹))
41 isumcl.5 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
421, 2, 35, 6, 41isumclim2 10816 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
4340, 42eqbrtrd 3865 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
44 fveq2 5305 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
4544eleq1d 2156 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
4637adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
47 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
4845, 46, 47rspcdva 2727 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
49 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
5028fvmpt2 5386 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
5149, 7, 50syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
5235oveq2d 5668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
5351, 52eqtr4d 2123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
5453ralrimiva 2446 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
55 nffvmpt1 5316 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
5655nfeq1 2238 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))
57 fveq2 5305 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
5844oveq2d 5668 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
5957, 58eqeq12d 2102 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
6056, 59rspc 2716 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
6154, 60mpan9 275 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
621, 2, 4, 43, 48, 61iisermulc2 10728 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)), ℂ) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
6332, 62eqbrtrrd 3867 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
641, 2, 3, 9, 63isumclim 10815 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
657ralrimiva 2446 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
66 sumfct 10763 . . 3 (∀𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
6765, 66syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
6864, 67eqtr3d 2122 1 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ∀wral 2359  ⦋csb 2933   ↦ cmpt 3899  dom cdm 4438  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  ℂcc 7348   + caddc 7353   · cmul 7355  ℤcz 8750  ℤ≥cuz 9019  seqcseq4 9851  seqcseq 9852   ⇝ cli 10666  Σcsu 10742 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743 This theorem is referenced by:  isummulc1  10821  trirecip  10895  geoisum1c  10914
 Copyright terms: Public domain W3C validator