Theorem cnima 14692

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 14672	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 5018	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2274	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 2876	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 283	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∪ cuni 3850  ^◡ccnv 4674   “ cima 4678  ⟶wf 5267  (class class class)co 5944  Topctop 14469   Cn ccn 14657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-top 14470  df-topon 14483  df-cn 14660

This theorem is referenced by:  cnco  14693  cnclima  14695  cnntri  14696  cnss1  14698  cnss2  14699  cncnpi  14700  cnrest  14707  txcnmpt  14745  txdis1cn  14750  imasnopn  14771  hmeoima  14782  hmeoopn  14783  hmeoimaf1o  14786