ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnima GIF version

Theorem cnima 13213
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2175 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2175 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 13193 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simprbi 275 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
54simprd 114 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
6 imaeq2 4959 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
76eleq1d 2244 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
87rspccva 2838 . 2 ((∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
95, 8sylan 283 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453   cuni 3805  ccnv 4619  cima 4623  wf 5204  (class class class)co 5865  Topctop 12988   Cn ccn 13178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-top 12989  df-topon 13002  df-cn 13181
This theorem is referenced by:  cnco  13214  cnclima  13216  cnntri  13217  cnss1  13219  cnss2  13220  cncnpi  13221  cnrest  13228  txcnmpt  13266  txdis1cn  13271  imasnopn  13292  hmeoima  13303  hmeoopn  13304  hmeoimaf1o  13307
  Copyright terms: Public domain W3C validator