ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bccl GIF version

Theorem bccl 10506
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem bccl
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5774 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
21eleq1d 2206 . . . 4 (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
32ralbidv 2435 . . 3 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
4 oveq1 5774 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
54eleq1d 2206 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
65ralbidv 2435 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
7 oveq1 5774 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
87eleq1d 2206 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
98ralbidv 2435 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
10 oveq1 5774 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
1110eleq1d 2206 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
1211ralbidv 2435 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
13 elfz1eq 9808 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
1413adantl 275 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝑘 = 0)
15 oveq2 5775 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
16 0nn0 8985 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
17 bcn0 10494 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0C0) = 1
19 1nn0 8986 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2018, 19eqeltri 2210 . . . . . . 7 (0C0) ∈ ℕ0
2115, 20eqeltrdi 2228 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2214, 21syl 14 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
23 bcval3 10490 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
2416, 23mp3an1 1302 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
2524, 16eqeltrdi 2228 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
26 0zd 9059 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
27 fzdcel 9813 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (0...0))
28 exmiddc 821 . . . . . . 7 (DECID 𝑘 ∈ (0...0) → (𝑘 ∈ (0...0) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)))
2927, 28syl 14 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...0) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)))
3026, 26, 29mpd3an23 1317 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (0...0) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)))
3122, 25, 30mpjaodan 787 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
3231rgen 2483 . . 3 𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0
33 oveq2 5775 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑛C𝑘) = (𝑛C𝑚))
3433eleq1d 2206 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0))
3534cbvralv 2652 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0)
36 bcpasc 10505 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
3736adantlr 468 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
38 oveq2 5775 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
3938eleq1d 2206 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
4039rspccva 2783 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
41 peano2zm 9085 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
42 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑛C𝑚) = (𝑛C(𝑘 − 1)))
4342eleq1d 2206 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0))
4443rspccva 2783 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4541, 44sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4640, 45nn0addcld 9027 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
4746adantll 467 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
4837, 47eqeltrrd 2215 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
4948ralrimiva 2503 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
5049ex 114 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
5135, 50syl5bi 151 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
523, 6, 9, 12, 32, 51nn0ind 9158 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
53 oveq2 5775 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝐾))
5453eleq1d 2206 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0))
5554rspccva 2783 . 2 ((∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5652, 55sylan 281 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  (class class class)co 5767  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616  cmin 7926  0cn0 8970  cz 9047  ...cfz 9783  Ccbc 10486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-seqfrec 10212  df-fac 10465  df-bc 10487
This theorem is referenced by:  bccl2  10507  bcn2m1  10508  bcn2p1  10509  binomlem  11245  bcxmas  11251
  Copyright terms: Public domain W3C validator