Theorem fsumparts 12054

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊))
fsumparts.c	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋))
fsumparts.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌))
fsumparts.e	⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍))
fsumparts.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumparts.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumparts.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11972	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = 0
2		0m0e0 9260	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2254	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (0 − 0)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 = 𝑀)
5	4	oveq2d 6039	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
6		fzo0 10410	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8	7	sumeq1d 11949	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)))
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzfz1 10271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
12		eqtr3 2250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑘 = 𝑁)
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍))
14		oveq12 6032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌))
17		oveq12 6032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
20	15, 19	eqeq12d 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉) ↔ (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
21	20	pm5.74da 443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉)) ↔ (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))))
22		eqidd 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉))
23	21, 22	vtoclg 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
24	23	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
25	11, 24	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
26	25	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)))
27	16	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
28	27	eleq1d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	ralrimiva 2604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
31	28, 30, 11	rspcdva 2914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	16	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑉 = 𝑌)
33	32	eleq1d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑌 ∈ ℂ))
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)
35	34	ralrimiva 2604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ)
36	33, 35, 11	rspcdva 2914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
37	31, 36	mulcld 8205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
38	37	subidd 8483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
40	26, 39	eqtrd 2263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
41	7	sumeq1d 11949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋))
42		sum0 11972	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = 0)
44	40, 43	oveq12d 6041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)) = (0 − 0))
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))
46		eluzel2 9765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	9, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	48	peano2zd 9610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
50		eluzelz 9770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
53		fzofig 10700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
54	49, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
55		uzid 9775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56		peano2uz 9822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
57		fzoss1 10413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
58	48, 55, 56, 57	4syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
59	58	sselda 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
60		elfzofz 10403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
61	29, 34	mulcld 8205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
62	60, 61	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
63	62	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
64	59, 63	syldan 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
65	54, 64	fsumcl 11984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
66	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
67	66	eleq1d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
68		eluzfz2 10272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
69	9, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
70	67, 30, 69	rspcdva 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	13	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑉 = 𝑍)
72	71	eleq1d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑍 ∈ ℂ))
73	72, 35, 69	rspcdva 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
74	70, 73	mulcld 8205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
75	74	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
76		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
77		fzp1ss 10313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
78	48, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
79	78	sselda 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
80	61	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
81	79, 80	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
82	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
83	76, 81, 82	fsumm1 12000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
84		fzoval 10388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
85	52, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
86	48	zcnd 9608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
87		ax-1cn 8130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
88		pncan 8390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
89	86, 87, 88	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
90	89	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
91	85, 90	eqtr4d 2266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
92	91	sumeq1d 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
93		1zzd 9511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋))
95		oveq12 6032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
97	93, 49, 52, 81, 96	fsumshftm 12029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
98	92, 97	eqtr4d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉))
99		fzoval 10388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
100	52, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
101	100	sumeq1d 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
102	101	oveq1d 6038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
103	83, 98, 102	3eqtr4d 2273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
104	65, 75, 103	comraddd 8341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
105	104	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
106		fzofzp1 10478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
107	94	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
108	107	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
109	108	rspccva 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
110	30, 106, 109	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
111		elfzofz 10403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊))
113	112	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
114	113	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
115	114	rspccva 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
116	30, 111, 115	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
117	94	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑉 = 𝑋)
118	117	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑋 ∈ ℂ))
119	118	rspccva 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
120	35, 106, 119	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
121	110, 116, 120	subdird 8599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
122	121	sumeq2dv 11951	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
123		fzofig 10700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
124	47, 51, 123	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
125	110, 120	mulcld 8205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
126	116, 120	mulcld 8205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
127	124, 125, 126	fsumsub 12036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
128	122, 127	eqtrd 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
129	128	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
130	124, 126	fsumcl 11984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
131	130	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
132	75, 131, 65	subsub3d 8525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))))
134	133	oveq2d 6039	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))))
135	37	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
136	131, 65	subcld 8495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) ∈ ℂ)
137	75, 135, 136	nnncan1d 8529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))) = ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)))
138	65, 135	addcomd 8335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
139		eluzp1m1 9785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
140	47, 139	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
141	85	eleq2d 2300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
142	141	biimpar 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
143	142, 63	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
144	140, 143, 18	fsum1p 12002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
145	85	sumeq1d 11949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
146	101	oveq2d 6039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
148	138, 147	eqtr4d 2266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))
149		oveq12 6032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
150	112, 149	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
151	150	cbvsumv 11944	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)
152	148, 151	eqtrdi 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊))
153	152	oveq2d 6039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
154	131, 65, 135	subsub4d 8526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))))
155	112	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝑉 = 𝑊)
156	155	eleq1d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑊 ∈ ℂ))
157	156	rspccva 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
158	35, 111, 157	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
159	116, 120, 158	subdid 8598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
160	159	sumeq2dv 11951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
161	116, 158	mulcld 8205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑊) ∈ ℂ)
162	124, 126, 161	fsumsub 12036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
163	160, 162	eqtrd 2263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
164	163	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)))
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))
167		uzp1 9795	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
168	9, 167	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
169	45, 166, 168	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509   ⊆ wss 3199  ∅c0 3493  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Fincfn 6914  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   − cmin 8355  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248  ..^cfzo 10382  Σcsu 11936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937

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