ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumparts GIF version

Theorem fsumparts 10864
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵𝑉 = 𝑊))
fsumparts.c (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶𝑉 = 𝑋))
fsumparts.d (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷𝑉 = 𝑌))
fsumparts.e (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸𝑉 = 𝑍))
fsumparts.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumparts.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumparts.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumparts (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 10780 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋𝑊)) = 0
2 0m0e0 8534 . . . 4 (0 − 0) = 0
31, 2eqtr4i 2111 . . 3 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋𝑊)) = (0 − 0)
4 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝑁 = 𝑀)
54oveq2d 5668 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
6 fzo0 9579 . . . . 5 (𝑀..^𝑀) = ∅
75, 6syl6eq 2136 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
87sumeq1d 10755 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋𝑊)))
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzfz1 9445 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
119, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
12 eqtr3 2107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀) → 𝑘 = 𝑁)
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸𝑉 = 𝑍))
14 oveq12 5661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = 𝐸𝑉 = 𝑍) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷𝑉 = 𝑌))
17 oveq12 5661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = 𝐷𝑉 = 𝑌) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
1918adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
2015, 19eqeq12d 2102 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀) → ((𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉) ↔ (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
2120pm5.74da 432 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉)) ↔ (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))))
22 eqidd 2089 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉))
2321, 22vtoclg 2679 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
2423imp 122 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
2511, 24sylan 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
2625oveq1d 5667 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)))
2716simpld 110 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
2827eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
29 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
3128, 30, 11rspcdva 2727 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3216simprd 112 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀𝑉 = 𝑌)
3332eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑌 ∈ ℂ))
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)
3534ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ)
3633, 35, 11rspcdva 2727 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3731, 36mulcld 7508 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
3837subidd 7781 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
3938adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
4026, 39eqtrd 2120 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
417sumeq1d 10755 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶𝐵) · 𝑋))
42 sum0 10780 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶𝐵) · 𝑋) = 0
4341, 42syl6eq 2136 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋) = 0)
4440, 43oveq12d 5670 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋)) = (0 − 0))
453, 8, 443eqtr4a 2146 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋)))
46 eluzel2 9024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
479, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4847adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
4948peano2zd 8871 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
50 eluzelz 9028 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
519, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5251adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
53 fzofig 9839 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
5449, 52, 53syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
55 uzid 9033 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
56 peano2uz 9071 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
57 fzoss1 9582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
5848, 55, 56, 574syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
5958sselda 3025 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
60 elfzofz 9573 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6129, 34mulcld 7508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
6260, 61sylan2 280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
6362adantlr 461 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
6459, 63syldan 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
6554, 64fsumcl 10794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
6613simpld 110 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
6766eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
68 eluzfz2 9446 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
699, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
7067, 30, 69rspcdva 2727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7113simprd 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑁𝑉 = 𝑍)
7271eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑍 ∈ ℂ))
7372, 35, 69rspcdva 2727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
7470, 73mulcld 7508 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
7574adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
76 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
77 fzp1ss 9487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7848, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7978sselda 3025 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8061adantlr 461 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
8179, 80syldan 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
8213, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
8376, 81, 82fsumm1 10810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
84 fzoval 9559 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8552, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8648zcnd 8869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
87 ax-1cn 7438 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
88 pncan 7688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
8986, 87, 88sylancl 404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
9089oveq1d 5667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
9185, 90eqtr4d 2123 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
9291sumeq1d 10755 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
93 1zzd 8777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
94 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶𝑉 = 𝑋))
95 oveq12 5661 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = 𝐶𝑉 = 𝑋) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
9694, 95syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
9793, 49, 52, 81, 96fsumshftm 10839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
9892, 97eqtr4d 2123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉))
99 fzoval 9559 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
10052, 99syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
101100sumeq1d 10755 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
102101oveq1d 5667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
10383, 98, 1023eqtr4d 2130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
10465, 75, 103comraddd 7639 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
105104oveq1d 5667 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
106 fzofzp1 9638 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
10794simpld 110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
108107eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
109108rspccva 2721 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11030, 106, 109syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
111 elfzofz 9573 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
112 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵𝑉 = 𝑊))
113112simpld 110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
114113eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
115114rspccva 2721 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11630, 111, 115syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11794simprd 112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑉 = 𝑋)
118117eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑋 ∈ ℂ))
119118rspccva 2721 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
12035, 106, 119syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
121110, 116, 120subdird 7893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐶𝐵) · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
122121sumeq2dv 10757 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
123 fzofig 9839 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
12447, 51, 123syl2anc 403 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
125110, 120mulcld 7508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
126116, 120mulcld 7508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
127124, 125, 126fsumsub 10846 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
128122, 127eqtrd 2120 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
129128adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
130124, 126fsumcl 10794 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
131130adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
13275, 131, 65subsub3d 7823 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
133105, 129, 1323eqtr4d 2130 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))))
134133oveq2d 5668 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))))
13537adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
136131, 65subcld 7793 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) ∈ ℂ)
13775, 135, 136nnncan1d 7827 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))) = ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)))
13865, 135addcomd 7633 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
139 eluzp1m1 9042 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
14047, 139sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
14185eleq2d 2157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
142141biimpar 291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
143142, 63syldan 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
144140, 143, 18fsum1p 10812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
14585sumeq1d 10755 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
146101oveq2d 5668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
147144, 145, 1463eqtr4d 2130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
148138, 147eqtr4d 2123 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))
149 oveq12 5661 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵𝑉 = 𝑊) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
150112, 149syl 14 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
151150cbvsumv 10750 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)
152148, 151syl6eq 2136 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊))
153152oveq2d 5668 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
154131, 65, 135subsub4d 7824 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))))
155112simprd 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝑉 = 𝑊)
156155eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑊 ∈ ℂ))
157156rspccva 2721 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
15835, 111, 157syl2an 283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
159116, 120, 158subdid 7892 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · (𝑋𝑊)) = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
160159sumeq2dv 10757 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
161116, 158mulcld 7508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑊) ∈ ℂ)
162124, 126, 161fsumsub 10846 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
163160, 162eqtrd 2120 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
164163adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
165153, 154, 1643eqtr4d 2130 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)))
166134, 137, 1653eqtrrd 2125 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋)))
167 uzp1 9052 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
1689, 167syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
16945, 166, 168mpjaodan 747 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶𝐵) · 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wss 2999  c0 3286  cfv 5015  (class class class)co 5652  Fincfn 6457  cc 7348  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353   · cmul 7355  cmin 7653  cz 8750  cuz 9019  ...cfz 9424  ..^cfzo 9553  Σcsu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator