Theorem fsumparts 11349

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊))
fsumparts.c	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋))
fsumparts.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌))
fsumparts.e	⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍))
fsumparts.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumparts.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumparts.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11267	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = 0
2		0m0e0 8928	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2181	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (0 − 0)
4		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 = 𝑀)
5	4	oveq2d 5834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
6		fzo0 10049	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8	7	sumeq1d 11245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)))
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzfz1 9915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
12		eqtr3 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑘 = 𝑁)
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍))
14		oveq12 5827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌))
17		oveq12 5827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
20	15, 19	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉) ↔ (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
21	20	pm5.74da 440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉)) ↔ (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))))
22		eqidd 2158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉))
23	21, 22	vtoclg 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
24	23	imp 123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
25	11, 24	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
26	25	oveq1d 5833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)))
27	16	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
28	27	eleq1d 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	ralrimiva 2530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
31	28, 30, 11	rspcdva 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	16	simprd 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑉 = 𝑌)
33	32	eleq1d 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑌 ∈ ℂ))
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)
35	34	ralrimiva 2530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ)
36	33, 35, 11	rspcdva 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
37	31, 36	mulcld 7881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
38	37	subidd 8157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
39	38	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
40	26, 39	eqtrd 2190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
41	7	sumeq1d 11245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋))
42		sum0 11267	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = 0)
44	40, 43	oveq12d 5836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)) = (0 − 0))
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))
46		eluzel2 9427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	9, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	48	peano2zd 9272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
50		eluzelz 9431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
52	51	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
53		fzofig 10313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
54	49, 52, 53	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
55		uzid 9436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56		peano2uz 9477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
57		fzoss1 10052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
58	48, 55, 56, 57	4syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
59	58	sselda 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
60		elfzofz 10043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
61	29, 34	mulcld 7881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
62	60, 61	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
63	62	adantlr 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
64	59, 63	syldan 280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
65	54, 64	fsumcl 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
66	13	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
67	66	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
68		eluzfz2 9916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
69	9, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
70	67, 30, 69	rspcdva 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
71	13	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑉 = 𝑍)
72	71	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑍 ∈ ℂ))
73	72, 35, 69	rspcdva 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
74	70, 73	mulcld 7881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
75	74	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
76		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
77		fzp1ss 9957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
78	48, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
79	78	sselda 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
80	61	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
81	79, 80	syldan 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
82	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
83	76, 81, 82	fsumm1 11295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
84		fzoval 10029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
85	52, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
86	48	zcnd 9270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
87		ax-1cn 7808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
88		pncan 8064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
89	86, 87, 88	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
90	89	oveq1d 5833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
91	85, 90	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
92	91	sumeq1d 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
93		1zzd 9177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋))
95		oveq12 5827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
97	93, 49, 52, 81, 96	fsumshftm 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
98	92, 97	eqtr4d 2193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉))
99		fzoval 10029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
100	52, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
101	100	sumeq1d 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
102	101	oveq1d 5833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
103	83, 98, 102	3eqtr4d 2200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
104	65, 75, 103	comraddd 8015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
105	104	oveq1d 5833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
106		fzofzp1 10108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
107	94	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
108	107	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
109	108	rspccva 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
110	30, 106, 109	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
111		elfzofz 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊))
113	112	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
114	113	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
115	114	rspccva 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
116	30, 111, 115	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
117	94	simprd 113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑉 = 𝑋)
118	117	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑋 ∈ ℂ))
119	118	rspccva 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
120	35, 106, 119	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
121	110, 116, 120	subdird 8273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
122	121	sumeq2dv 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
123		fzofig 10313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
124	47, 51, 123	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
125	110, 120	mulcld 7881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
126	116, 120	mulcld 7881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
127	124, 125, 126	fsumsub 11331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
128	122, 127	eqtrd 2190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
129	128	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
130	124, 126	fsumcl 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
131	130	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
132	75, 131, 65	subsub3d 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))))
134	133	oveq2d 5834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))))
135	37	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
136	131, 65	subcld 8169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) ∈ ℂ)
137	75, 135, 136	nnncan1d 8203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))) = ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)))
138	65, 135	addcomd 8009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
139		eluzp1m1 9445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
140	47, 139	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
141	85	eleq2d 2227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
142	141	biimpar 295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
143	142, 63	syldan 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
144	140, 143, 18	fsum1p 11297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
145	85	sumeq1d 11245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
146	101	oveq2d 5834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
148	138, 147	eqtr4d 2193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))
149		oveq12 5827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
150	112, 149	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
151	150	cbvsumv 11240	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)
152	148, 151	eqtrdi 2206	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊))
153	152	oveq2d 5834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
154	131, 65, 135	subsub4d 8200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))))
155	112	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝑉 = 𝑊)
156	155	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑊 ∈ ℂ))
157	156	rspccva 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
158	35, 111, 157	syl2an 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
159	116, 120, 158	subdid 8272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
160	159	sumeq2dv 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
161	116, 158	mulcld 7881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑊) ∈ ℂ)
162	124, 126, 161	fsumsub 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
163	160, 162	eqtrd 2190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
164	163	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)))
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))
167		uzp1 9455	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
168	9, 167	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
169	45, 166, 168	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  Fincfn 6678  ℂcc 7713  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   − cmin 8029  ℤcz 9150  ℤ_≥cuz 9422  ...cfz 9894  ..^cfzo 10023  Σcsu 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233

This theorem is referenced by: (None)