Theorem sseq2d 3278

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3272	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  sseqtrd  3286  exmidsssn  4339  exmidsssnc  4340  onsucsssucexmid  4674  sbcrel  4861  funimass2  5459  fnco  5491  fnssresb  5495  fnimaeq0  5505  foimacnv  5657  fvelimab  5759  ssimaexg  5765  fvmptss2  5780  rdgss  6654  papeq2  7611  tapeq2  7620  fzowrddc  11434  swrdnd  11446  swrd0g  11447  summodclem2  12167  summodc  12168  zsumdc  12169  fsum3cvg3  12181  prodmodclem2  12362  prodmodc  12363  zproddc  12364  ennnfoneleminc  13353  tgval  13667  releqgg  14074  eqgex  14075  eqgfval  14076  prdsval  14224  opprsubgg  14441  unitsubm  14477  subrngpropd  14575  subrgsubm  14593  issubrg3  14606  subrgpropd  14612  lsslss  14769  lsspropdg  14819  islidlm  14867  rspcl  14879  rspssid  14880  isbasisg  15197  tgss3  15231  restbasg  15321  tgrest  15322  restopn2  15336  cnpnei  15372  cnptopresti  15391  txbas  15411  elmopn  15599  neibl  15644  dvfgg  15841  incistruhgr  16453  edgssv2en  16562  wksfval  16685