Theorem sseq2d 3132

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3126	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ⊆ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  sseq12d  3133  sseqtrd  3140  exmidsssn  4133  exmidsssnc  4134  onsucsssucexmid  4450  sbcrel  4633  funimass2  5209  fnco  5239  fnssresb  5243  fnimaeq0  5252  foimacnv  5393  fvelimab  5485  ssimaexg  5491  fvmptss2  5504  rdgss  6288  summodclem2  11183  summodc  11184  zsumdc  11185  fsum3cvg3  11197  prodmodclem2  11378  prodmodc  11379  zproddc  11380  ennnfoneleminc  11960  isbasisg  12250  tgval  12257  tgss3  12286  restbasg  12376  tgrest  12377  restopn2  12391  cnpnei  12427  cnptopresti  12446  txbas  12466  elmopn  12654  neibl  12699  dvfgg  12865