Theorem sseq2d 3267

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3261	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3216  df-ss 3223

This theorem is referenced by:  sseq12d  3268  sseqtrd  3275  exmidsssn  4314  exmidsssnc  4315  onsucsssucexmid  4648  sbcrel  4835  funimass2  5433  fnco  5465  fnssresb  5469  fnimaeq0  5479  foimacnv  5631  fvelimab  5732  ssimaexg  5738  fvmptss2  5751  rdgss  6613  tapeq2  7566  fzowrddc  11335  swrdnd  11347  swrd0g  11348  summodclem2  12064  summodc  12065  zsumdc  12066  fsum3cvg3  12078  prodmodclem2  12259  prodmodc  12260  zproddc  12261  ennnfoneleminc  13154  tgval  13467  prdsval  13478  releqgg  13929  eqgex  13930  eqgfval  13931  opprsubgg  14220  unitsubm  14256  subrngpropd  14353  subrgsubm  14371  issubrg3  14384  subrgpropd  14390  lsslss  14521  lsspropdg  14571  islidlm  14619  rspcl  14631  rspssid  14632  isbasisg  14901  tgss3  14935  restbasg  15025  tgrest  15026  restopn2  15040  cnpnei  15076  cnptopresti  15095  txbas  15115  elmopn  15303  neibl  15348  dvfgg  15545  incistruhgr  16077  edgssv2en  16186  wksfval  16309