Theorem sseq2d 3214

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3208	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sseq12d  3215  sseqtrd  3222  exmidsssn  4236  exmidsssnc  4237  onsucsssucexmid  4564  sbcrel  4750  funimass2  5337  fnco  5369  fnssresb  5373  fnimaeq0  5382  foimacnv  5525  fvelimab  5620  ssimaexg  5626  fvmptss2  5639  rdgss  6450  tapeq2  7338  summodclem2  11566  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3cvg3  11580  prodmodclem2  11761  prodmodc  11762  zproddc  11763  ennnfoneleminc  12655  tgval  12966  prdsval  12977  releqgg  13428  eqgex  13429  eqgfval  13430  opprsubgg  13718  unitsubm  13753  subrngpropd  13850  subrgsubm  13868  issubrg3  13881  subrgpropd  13887  lsslss  14015  lsspropdg  14065  islidlm  14113  rspcl  14125  rspssid  14126  isbasisg  14388  tgss3  14422  restbasg  14512  tgrest  14513  restopn2  14527  cnpnei  14563  cnptopresti  14582  txbas  14602  elmopn  14790  neibl  14835  dvfgg  15032