Theorem sseq2d 3272

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3266	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sseq12d  3273  sseqtrd  3280  exmidsssn  4320  exmidsssnc  4321  onsucsssucexmid  4654  sbcrel  4841  funimass2  5439  fnco  5471  fnssresb  5475  fnimaeq0  5485  foimacnv  5637  fvelimab  5738  ssimaexg  5744  fvmptss2  5757  rdgss  6627  papeq2  7574  tapeq2  7583  fzowrddc  11364  swrdnd  11376  swrd0g  11377  summodclem2  12093  summodc  12094  zsumdc  12095  fsum3cvg3  12107  prodmodclem2  12288  prodmodc  12289  zproddc  12290  ennnfoneleminc  13246  tgval  13559  prdsval  13570  releqgg  14021  eqgex  14022  eqgfval  14023  opprsubgg  14313  unitsubm  14349  subrngpropd  14447  subrgsubm  14465  issubrg3  14478  subrgpropd  14484  lsslss  14641  lsspropdg  14691  islidlm  14739  rspcl  14751  rspssid  14752  isbasisg  15021  tgss3  15055  restbasg  15145  tgrest  15146  restopn2  15160  cnpnei  15196  cnptopresti  15215  txbas  15235  elmopn  15423  neibl  15468  dvfgg  15665  incistruhgr  16197  edgssv2en  16306  wksfval  16429