Theorem sseq2d 3214

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3208	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sseq12d  3215  sseqtrd  3222  exmidsssn  4236  exmidsssnc  4237  onsucsssucexmid  4564  sbcrel  4750  funimass2  5337  fnco  5369  fnssresb  5373  fnimaeq0  5382  foimacnv  5525  fvelimab  5620  ssimaexg  5626  fvmptss2  5639  rdgss  6450  tapeq2  7336  summodclem2  11564  summodc  11565  zsumdc  11566  fsum3cvg3  11578  prodmodclem2  11759  prodmodc  11760  zproddc  11761  ennnfoneleminc  12653  tgval  12964  prdsval  12975  releqgg  13426  eqgex  13427  eqgfval  13428  opprsubgg  13716  unitsubm  13751  subrngpropd  13848  subrgsubm  13866  issubrg3  13879  subrgpropd  13885  lsslss  14013  lsspropdg  14063  islidlm  14111  rspcl  14123  rspssid  14124  isbasisg  14364  tgss3  14398  restbasg  14488  tgrest  14489  restopn2  14503  cnpnei  14539  cnptopresti  14558  txbas  14578  elmopn  14766  neibl  14811  dvfgg  15008