Theorem sseq2d 3278

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3272	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  sseqtrd  3286  exmidsssn  4339  exmidsssnc  4340  onsucsssucexmid  4674  sbcrel  4861  funimass2  5459  fnco  5491  fnssresb  5495  fnimaeq0  5505  foimacnv  5657  fvelimab  5759  ssimaexg  5765  fvmptss2  5780  rdgss  6654  papeq2  7610  tapeq2  7619  fzowrddc  11421  swrdnd  11433  swrd0g  11434  summodclem2  12151  summodc  12152  zsumdc  12153  fsum3cvg3  12165  prodmodclem2  12346  prodmodc  12347  zproddc  12348  ennnfoneleminc  13304  tgval  13618  releqgg  14025  eqgex  14026  eqgfval  14027  prdsval  14175  opprsubgg  14392  unitsubm  14428  subrngpropd  14526  subrgsubm  14544  issubrg3  14557  subrgpropd  14563  lsslss  14720  lsspropdg  14770  islidlm  14818  rspcl  14830  rspssid  14831  isbasisg  15147  tgss3  15181  restbasg  15271  tgrest  15272  restopn2  15286  cnpnei  15322  cnptopresti  15341  txbas  15361  elmopn  15549  neibl  15594  dvfgg  15791  incistruhgr  16343  edgssv2en  16452  wksfval  16575