Theorem sseq2d 3255

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3249	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  sseq12d  3256  sseqtrd  3263  exmidsssn  4290  exmidsssnc  4291  onsucsssucexmid  4623  sbcrel  4810  funimass2  5405  fnco  5437  fnssresb  5441  fnimaeq0  5451  foimacnv  5598  fvelimab  5698  ssimaexg  5704  fvmptss2  5717  rdgss  6544  tapeq2  7465  fzowrddc  11221  swrdnd  11233  swrd0g  11234  summodclem2  11936  summodc  11937  zsumdc  11938  fsum3cvg3  11950  prodmodclem2  12131  prodmodc  12132  zproddc  12133  ennnfoneleminc  13025  tgval  13338  prdsval  13349  releqgg  13800  eqgex  13801  eqgfval  13802  opprsubgg  14090  unitsubm  14126  subrngpropd  14223  subrgsubm  14241  issubrg3  14254  subrgpropd  14260  lsslss  14388  lsspropdg  14438  islidlm  14486  rspcl  14498  rspssid  14499  isbasisg  14761  tgss3  14795  restbasg  14885  tgrest  14886  restopn2  14900  cnpnei  14936  cnptopresti  14955  txbas  14975  elmopn  15163  neibl  15208  dvfgg  15405  incistruhgr  15934  edgssv2en  16043  wksfval  16133