Theorem sseq2d 3278

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3272	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  sseqtrd  3286  exmidsssn  4339  exmidsssnc  4340  onsucsssucexmid  4674  sbcrel  4861  funimass2  5459  fnco  5491  fnssresb  5495  fnimaeq0  5505  foimacnv  5657  fvelimab  5759  ssimaexg  5765  fvmptss2  5780  rdgss  6654  papeq2  7611  tapeq2  7620  fzowrddc  11435  swrdnd  11447  swrd0g  11448  summodclem2  12168  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3cvg3  12182  prodmodclem2  12363  prodmodc  12364  zproddc  12365  ennnfoneleminc  13354  tgval  13669  releqgg  14076  eqgex  14077  eqgfval  14078  sscntz  14152  resscntz  14160  prdsval  14264  opprsubgg  14481  unitsubm  14517  subrngpropd  14615  subrgsubm  14633  issubrg3  14646  subrgpropd  14652  lsslss  14809  lsspropdg  14859  islidlm  14907  rspcl  14919  rspssid  14920  isbasisg  15244  tgss3  15278  restbasg  15368  tgrest  15369  restopn2  15383  cnpnei  15419  cnptopresti  15438  txbas  15458  elmopn  15646  neibl  15691  dvfgg  15888  incistruhgr  16510  edgssv2en  16619  wksfval  16742