Theorem sseq2d 3185

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq2 3179	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ⊆ wss 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3135  df-ss 3142

This theorem is referenced by:  sseq12d  3186  sseqtrd  3193  exmidsssn  4202  exmidsssnc  4203  onsucsssucexmid  4526  sbcrel  4712  funimass2  5294  fnco  5324  fnssresb  5328  fnimaeq0  5337  foimacnv  5479  fvelimab  5572  ssimaexg  5578  fvmptss2  5591  rdgss  6383  tapeq2  7251  summodclem2  11389  summodc  11390  zsumdc  11391  fsum3cvg3  11403  prodmodclem2  11584  prodmodc  11585  zproddc  11586  ennnfoneleminc  12411  tgval  12710  releqgg  13078  eqgfval  13079  unitsubm  13286  subrgsubm  13353  issubrg3  13366  subrgpropd  13367  isbasisg  13514  tgss3  13548  restbasg  13638  tgrest  13639  restopn2  13653  cnpnei  13689  cnptopresti  13708  txbas  13728  elmopn  13916  neibl  13961  dvfgg  14127