Theorem 0nninf 15564

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to ∅). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6496	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	fconst6 5454	. . 3 ⊢ (ω × {∅}):ω⟶2o
3		2onn 6576	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
4	3	elexi 2772	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
5		omex 4626	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6	4, 5	elmap 6733	. . 3 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ (ω × {∅}):ω⟶2o)
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω)
8		peano2 4628	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
9		0ex 4157	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
10	9	fvconst2 5775	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
12	9	fvconst2 5775	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘𝑖) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2229	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
14		eqimss 3234	. . . 4 ⊢ (((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖) → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
16	15	rgen 2547	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)
17		fveq1 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘suc 𝑖))
18		fveq1 5554	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
19	17, 18	sseq12d 3211	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
20	19	ralbidv 2494	. . 3 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
21		df-nninf 7181	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
22	20, 21	elrab2 2920	. 2 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ ℕ∞ ↔ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
23	7, 16, 22	mpbir2an 944	1 ⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  {csn 3619  suc csuc 4397  ωcom 4623   × cxp 4658  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  2_oc2o 6465   ↑_𝑚 cmap 6704  ℕ_∞xnninf 7180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-nninf 7181

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  15582