Theorem 0nninf 15138

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to ∅). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6460	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	fconst6 5430	. . 3 ⊢ (ω × {∅}):ω⟶2o
3		2onn 6540	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
4	3	elexi 2764	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
5		omex 4607	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6	4, 5	elmap 6695	. . 3 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ (ω × {∅}):ω⟶2o)
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω)
8		peano2 4609	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
9		0ex 4145	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
10	9	fvconst2 5748	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
12	9	fvconst2 5748	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘𝑖) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2225	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
14		eqimss 3224	. . . 4 ⊢ (((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖) → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
16	15	rgen 2543	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)
17		fveq1 5529	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘suc 𝑖))
18		fveq1 5529	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
19	17, 18	sseq12d 3201	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
20	19	ralbidv 2490	. . 3 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
21		df-nninf 7137	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
22	20, 21	elrab2 2911	. 2 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ ℕ∞ ↔ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
23	7, 16, 22	mpbir2an 944	1 ⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  {csn 3607  suc csuc 4380  ωcom 4604   × cxp 4639  ⟶wf 5227  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  2_oc2o 6429   ↑_𝑚 cmap 6666  ℕ_∞xnninf 7136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1o 6435  df-2o 6436  df-map 6668  df-nninf 7137

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  15155