Theorem 0nninf 16015

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to ∅). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6534	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	fconst6 5482	. . 3 ⊢ (ω × {∅}):ω⟶2o
3		2onn 6614	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
4	3	elexi 2785	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
5		omex 4645	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6	4, 5	elmap 6771	. . 3 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ (ω × {∅}):ω⟶2o)
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω)
8		peano2 4647	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
9		0ex 4175	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
10	9	fvconst2 5807	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
12	9	fvconst2 5807	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘𝑖) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2242	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
14		eqimss 3248	. . . 4 ⊢ (((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖) → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
16	15	rgen 2560	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)
17		fveq1 5582	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘suc 𝑖))
18		fveq1 5582	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
19	17, 18	sseq12d 3225	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
20	19	ralbidv 2507	. . 3 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
21		df-nninf 7229	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
22	20, 21	elrab2 2933	. 2 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ ℕ∞ ↔ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
23	7, 16, 22	mpbir2an 945	1 ⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3167  ∅c0 3461  {csn 3634  suc csuc 4416  ωcom 4642   × cxp 4677  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  2_oc2o 6503   ↑_𝑚 cmap 6742  ℕ_∞xnninf 7228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1o 6509  df-2o 6510  df-map 6744  df-nninf 7229

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  16035