Theorem 0nninf 13997

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to ∅). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6417	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	fconst6 5395	. . 3 ⊢ (ω × {∅}):ω⟶2o
3		2onn 6497	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
4	3	elexi 2742	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
5		omex 4575	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6	4, 5	elmap 6651	. . 3 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ (ω × {∅}):ω⟶2o)
7	2, 6	mpbir 145	. 2 ⊢ (ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω)
8		peano2 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
9		0ex 4114	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
10	9	fvconst2 5709	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ∅)
12	9	fvconst2 5709	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘𝑖) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
14		eqimss 3201	. . . 4 ⊢ (((ω × {∅})‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖) → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖))
16	15	rgen 2523	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)
17		fveq1 5493	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘suc 𝑖) = ((ω × {∅})‘suc 𝑖))
18		fveq1 5493	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (𝑓‘𝑖) = ((ω × {∅})‘𝑖))
19	17, 18	sseq12d 3178	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
20	19	ralbidv 2470	. . 3 ⊢ (𝑓 = (ω × {∅}) → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
21		df-nninf 7093	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
22	20, 21	elrab2 2889	. 2 ⊢ ((ω × {∅}) ∈ ℕ∞ ↔ ((ω × {∅}) ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω ((ω × {∅})‘suc 𝑖) ⊆ ((ω × {∅})‘𝑖)))
23	7, 16, 22	mpbir2an 937	1 ⊢ (ω × {∅}) ∈ ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3581  suc csuc 4348  ωcom 4572   × cxp 4607  ⟶wf 5192  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  2_oc2o 6386   ↑_𝑚 cmap 6622  ℕ_∞xnninf 7092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1o 6392  df-2o 6393  df-map 6624  df-nninf 7093

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14014