Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oawordriexmid GIF version

Theorem oawordriexmid 6406
 Description: A weak ordering property of ordinal addition which implies excluded middle. The property is proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. Compare with oawordi 6405. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
oawordriexmid.1 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐)))
Assertion
Ref Expression
oawordriexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem oawordriexmid
StepHypRef Expression
1 1on 6360 . . . . 5 1o ∈ On
2 oawordriexmid.1 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐)))
323expa 1182 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) ∧ 𝑐 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐)))
43expcom 115 . . . . . 6 (𝑐 ∈ On → ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐))))
54rgen 2507 . . . . 5 𝑐 ∈ On ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐)))
6 oveq2 5822 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 1o → (𝑎 +o 𝑐) = (𝑎 +o 1o))
7 oveq2 5822 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 1o → (𝑏 +o 𝑐) = (𝑏 +o 1o))
86, 7sseq12d 3155 . . . . . . . 8 (𝑐 = 1o → ((𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐) ↔ (𝑎 +o 1o) ⊆ (𝑏 +o 1o)))
98imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑐 = 1o → ((𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐)) ↔ (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 1o) ⊆ (𝑏 +o 1o))))
109imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑐 = 1o → (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐))) ↔ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 1o) ⊆ (𝑏 +o 1o)))))
1110rspcv 2809 . . . . 5 (1o ∈ On → (∀𝑐 ∈ On ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 𝑐) ⊆ (𝑏 +o 𝑐))) → ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 1o) ⊆ (𝑏 +o 1o)))))
121, 5, 11mp2 16 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → (𝑎 +o 1o) ⊆ (𝑏 +o 1o)))
13 oa1suc 6403 . . . . . 6 (𝑎 ∈ On → (𝑎 +o 1o) = suc 𝑎)
1413adantr 274 . . . . 5 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +o 1o) = suc 𝑎)
15 oa1suc 6403 . . . . . 6 (𝑏 ∈ On → (𝑏 +o 1o) = suc 𝑏)
1615adantl 275 . . . . 5 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑏 +o 1o) = suc 𝑏)
1714, 16sseq12d 3155 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((𝑎 +o 1o) ⊆ (𝑏 +o 1o) ↔ suc 𝑎 ⊆ suc 𝑏))
1812, 17sylibd 148 . . 3 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎𝑏 → suc 𝑎 ⊆ suc 𝑏))
1918rgen2a 2508 . 2 𝑎 ∈ On ∀𝑏 ∈ On (𝑎𝑏 → suc 𝑎 ⊆ suc 𝑏)
2019onsucsssucexmid 4480 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432   ⊆ wss 3098  Oncon0 4318  suc csuc 4320  (class class class)co 5814  1oc1o 6346   +o coa 6350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-1o 6353  df-oadd 6357 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator