Theorem nninff 7087

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5485	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2		fveq1 5485	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
3	1, 2	sseq12d 3173	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
4	3	ralbidv 2466	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
5		df-nninf 7085	. . . 4 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 2885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
7	6	simplbi 272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
8		elmapi 6636	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ⊆ wss 3116  suc csuc 4343  ωcom 4567  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  2_oc2o 6378   ↑_𝑚 cmap 6614  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616  df-nninf 7085

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7092  nnnninfeq2  7093  nninfisol  7097  nnsf  13885  peano4nninf  13886  nninfall  13889  nninfsellemeqinf  13896