ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninff GIF version

Theorem nninff 7123
Description: An element of is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninff (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5516 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2 fveq1 5516 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑖) = (𝐴𝑖))
31, 2sseq12d 3188 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
43ralbidv 2477 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
5 df-nninf 7121 . . . 4 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)}
64, 5elrab2 2898 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
76simplbi 274 . 2 (𝐴 ∈ ℕ𝐴 ∈ (2o𝑚 ω))
8 elmapi 6672 . 2 (𝐴 ∈ (2o𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
97, 8syl 14 1 (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3131  suc csuc 4367  ωcom 4591  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5877  2oc2o 6413  𝑚 cmap 6650  xnninf 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652  df-nninf 7121
This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7128  nnnninfeq2  7129  nninfisol  7133  nninfdcinf  7171  nninfwlpor  7174  nnsf  14839  peano4nninf  14840  nninfall  14843  nninfsellemeqinf  14850
  Copyright terms: Public domain W3C validator