Theorem nninff 7099

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2		fveq1 5495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
3	1, 2	sseq12d 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
4	3	ralbidv 2470	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
5		df-nninf 7097	. . . 4 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 2889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
7	6	simplbi 272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
8		elmapi 6648	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   ⊆ wss 3121  suc csuc 4350  ωcom 4574  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  2_oc2o 6389   ↑_𝑚 cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7104  nnnninfeq2  7105  nninfisol  7109  nninfdcinf  7147  nninfwlpor  7150  nnsf  14038  peano4nninf  14039  nninfall  14042  nninfsellemeqinf  14049