Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninff GIF version

Theorem nninff 13187
Description: An element of is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninff (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5413 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2 fveq1 5413 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑖) = (𝐴𝑖))
31, 2sseq12d 3123 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
43ralbidv 2435 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
5 df-nninf 7000 . . . 4 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)}
64, 5elrab2 2838 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
76simplbi 272 . 2 (𝐴 ∈ ℕ𝐴 ∈ (2o𝑚 ω))
8 elmapi 6557 . 2 (𝐴 ∈ (2o𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
97, 8syl 14 1 (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  wss 3066  suc csuc 4282  ωcom 4499  wf 5114  cfv 5118  (class class class)co 5767  2oc2o 6300  𝑚 cmap 6535  xnninf 6998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-map 6537  df-nninf 7000
This theorem is referenced by:  nnsf  13188  peano4nninf  13189  nninfalllemn  13191  nninfall  13193  nninfsellemeqinf  13201
  Copyright terms: Public domain W3C validator