Theorem nninff 7120

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5514	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2		fveq1 5514	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
3	1, 2	sseq12d 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
4	3	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
5		df-nninf 7118	. . . 4 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 2896	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
7	6	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
8		elmapi 6669	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3129  suc csuc 4365  ωcom 4589  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  2_oc2o 6410   ↑_𝑚 cmap 6647  ℕ_∞xnninf 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649  df-nninf 7118

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7125  nnnninfeq2  7126  nninfisol  7130  nninfdcinf  7168  nninfwlpor  7171  nnsf  14636  peano4nninf  14637  nninfall  14640  nninfsellemeqinf  14647