ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninff GIF version

Theorem nninff 7099
Description: An element of is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninff (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5495 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2 fveq1 5495 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑖) = (𝐴𝑖))
31, 2sseq12d 3178 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
43ralbidv 2470 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
5 df-nninf 7097 . . . 4 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)}
64, 5elrab2 2889 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
76simplbi 272 . 2 (𝐴 ∈ ℕ𝐴 ∈ (2o𝑚 ω))
8 elmapi 6648 . 2 (𝐴 ∈ (2o𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
97, 8syl 14 1 (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wss 3121  suc csuc 4350  ωcom 4574  wf 5194  cfv 5198  (class class class)co 5853  2oc2o 6389  𝑚 cmap 6626  xnninf 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-nninf 7097
This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7104  nnnninfeq2  7105  nninfisol  7109  nninfdcinf  7147  nninfwlpor  7150  nnsf  14038  peano4nninf  14039  nninfall  14042  nninfsellemeqinf  14049
  Copyright terms: Public domain W3C validator