Theorem nninff 7223

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5574	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2		fveq1 5574	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
3	1, 2	sseq12d 3223	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
4	3	ralbidv 2505	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
5		df-nninf 7221	. . . 4 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 2931	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
7	6	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
8		elmapi 6756	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   ⊆ wss 3165  suc csuc 4411  ωcom 4637  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  2_oc2o 6495   ↑_𝑚 cmap 6734  ℕ_∞xnninf 7220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-map 6736  df-nninf 7221

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7229  nnnninfeq2  7230  nninfisol  7234  nninfdcinf  7272  nninfwlpor  7275  nninfctlemfo  12332  nnsf  15904  peano4nninf  15905  nninfall  15908  nninfsellemeqinf  15915  nnnninfex  15921  nninfnfiinf  15922