Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninff GIF version

Theorem nninff 11894
Description: An element of is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninff (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2𝑜)

Proof of Theorem nninff
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5304 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2 fveq1 5304 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑖) = (𝐴𝑖))
31, 2sseq12d 3055 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
43ralbidv 2380 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
5 df-nninf 6791 . . . 4 = {𝑓 ∈ (2𝑜𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓𝑖)}
64, 5elrab2 2774 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ (2𝑜𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴𝑖)))
76simplbi 268 . 2 (𝐴 ∈ ℕ𝐴 ∈ (2𝑜𝑚 ω))
8 elmapi 6427 . 2 (𝐴 ∈ (2𝑜𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2𝑜)
97, 8syl 14 1 (𝐴 ∈ ℕ𝐴:ω⟶2𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wss 2999  suc csuc 4192  ωcom 4405  wf 5011  cfv 5015  (class class class)co 5652  2𝑜c2o 6175  𝑚 cmap 6405  xnninf 6789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-map 6407  df-nninf 6791
This theorem is referenced by:  nnsf  11895  peano4nninf  11896  nninfalllemn  11898  nninfall  11900  nninfsellemeqinf  11908
  Copyright terms: Public domain W3C validator