Theorem nninff 7285

Description: An element of ℕ_∞ is a sequence of zeroes and ones. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninff	⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Proof of Theorem nninff

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5625	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
2		fveq1 5625	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
3	1, 2	sseq12d 3255	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
4	3	ralbidv 2530	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
5		df-nninf 7283	. . . 4 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 2962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
7	6	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
8		elmapi 6815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) → 𝐴:ω⟶2o)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ → 𝐴:ω⟶2o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  suc csuc 4455  ωcom 4681  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  2_oc2o 6554   ↑_𝑚 cmap 6793  ℕ_∞xnninf 7282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-map 6795  df-nninf 7283

This theorem is referenced by:  nnnninfeq  7291  nnnninfeq2  7292  nninfisol  7296  nninfdcinf  7334  nninfwlpor  7337  nninfctlemfo  12556  nnsf  16330  peano4nninf  16331  nninfall  16334  nninfsellemeqinf  16341  nnnninfex  16347  nninfnfiinf  16348