Theorem lssintclm 14532

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lssintcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		intssuni2m 3973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
9	8	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
10		eqid 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 6	lssssg 14508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12		velpw 3676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
14	13	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)))
15	14	ssrdv 3244	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊))
16		sspwuni 4076	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
19	9, 18	sstrd 3248	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
20		simpl1 1027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22	21	sselda 3238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	23, 6	lss0cl 14517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
26	25	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
27	10, 23	lmod0vcl 14465	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
28		elintg 3957	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
30	29	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴)
32		elex2 2830	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ∩ 𝐴)
33	31, 32	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 𝑤 ∈ ∩ 𝐴)
34	20	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
35	22	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
36		simplr1 1066	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37		simplr2 1067	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐴)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
39		elinti 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑦))
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝑦)
41		simplr3 1068	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
42		elinti 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑏 ∈ 𝑦))
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑦)
44		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
45		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
46		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
47		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 14512	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1286	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
50	49	ralrimiva 2615	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
51		vex 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑥 ∈ V)
53		vscaslid 13376	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
54	53	slotex 13239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
55		vex 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
57		ovexg 6084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
59		plusgslid 13325	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
60	59	slotex 13239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) ∈ V)
61		vex 2816	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
63		ovexg 6084	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V ∧ (+g‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
65		elintg 3957	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
67	66	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
68	67	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
69	50, 68	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
70		simp1 1024	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 14507	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669  ∪ cuni 3914  ∩ cint 3949  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  Scalarcsca 13293   ·_𝑠 cvsca 13294  0_gc0g 13469  LModclmod 14435  LSubSpclss 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437  df-lssm 14501

This theorem is referenced by:  lssincl  14533  lspf  14537