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Theorem lssintclm 13568
Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssintclm ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑀)
Proof of Theorem lssintclm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2188 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2188 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2188 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2188 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2188 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 9 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 intssuni2m 3880 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
983adant1 1016 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
10 eqid 2187 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 6lssssg 13544 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 velpw 3594 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1311, 12sylibr 134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
1413ex 115 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)))
1514ssrdv 3173 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
16 sspwuni 3983 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1715, 16sylib 122 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
18173ad2ant1 1019 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
199, 18sstrd 3177 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
20 simpl1 1001 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simp2 999 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2221sselda 3167 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
23 eqid 2187 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2423, 6lss0cl 13553 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2520, 22, 24syl2anc 411 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2625ralrimiva 2560 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2710, 23lmod0vcl 13501 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
28 elintg 3864 . . . . . 6 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦))
2927, 28syl 14 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦))
30293ad2ant1 1019 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦))
3126, 30mpbird 167 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴)
32 elex2 2765 . . 3 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ ∩ 𝐴)
3331, 32syl 14 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ ∩ 𝐴)
3420adantlr 477 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3522adantlr 477 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
36 simplr1 1040 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
37 simplr2 1041 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴)
38 simpr 110 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
39 elinti 3865 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ 𝑦))
4037, 38, 39sylc 62 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
41 simplr3 1042 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
42 elinti 3865 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑏 ∈ 𝑦))
4341, 38, 42sylc 62 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
44 eqid 2187 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
45 eqid 2187 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
46 eqid 2187 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
47 eqid 2187 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4844, 45, 46, 47, 6lssclg 13548 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4934, 35, 36, 40, 43, 48syl113anc 1260 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
5049ralrimiva 2560 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
51 vex 2752 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
5251a1i 9 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘₯ ∈ V)
53 vscaslid 12635 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx) ∧ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•)
5453slotex 12502 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) ∈ V)
55 vex 2752 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
5655a1i 9 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Ž ∈ V)
57 ovexg 5922 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ V ∧ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) ∈ V ∧ π‘Ž ∈ V) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ V)
5852, 54, 56, 57syl3anc 1248 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ V)
59 plusgslid 12585 . . . . . . . 8 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
6059slotex 12502 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (+gβ€˜π‘Š) ∈ V)
61 vex 2752 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
6261a1i 9 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑏 ∈ V)
63 ovexg 5922 . . . . . . 7 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ V ∧ (+gβ€˜π‘Š) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V)
6458, 60, 62, 63syl3anc 1248 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V)
65 elintg 3864 . . . . . 6 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
6664, 65syl 14 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
67663ad2ant1 1019 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
6867adantr 276 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
6950, 68mpbird 167 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
70 simp1 998 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
711, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70islssmd 13543 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363  βˆƒwex 1502   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  π’« cpw 3587  βˆͺ cuni 3821  βˆ© cint 3856  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  Scalarcsca 12553   ·𝑠 cvsca 12554  0gc0g 12722  LModclmod 13471  LSubSpclss 13536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537
This theorem is referenced by:  lssincl  13569  lspf  13573
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