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Theorem lssintclm 13667
Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssintclm ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑀)
Proof of Theorem lssintclm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2190 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2190 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2190 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2190 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2190 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 9 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 intssuni2m 3883 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
983adant1 1017 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
10 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 6lssssg 13643 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 velpw 3597 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1311, 12sylibr 134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
1413ex 115 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)))
1514ssrdv 3176 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
16 sspwuni 3986 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1715, 16sylib 122 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
18173ad2ant1 1020 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
199, 18sstrd 3180 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
20 simpl1 1002 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simp2 1000 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2221sselda 3170 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
23 eqid 2189 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2423, 6lss0cl 13652 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2520, 22, 24syl2anc 411 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2625ralrimiva 2563 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2710, 23lmod0vcl 13600 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
28 elintg 3867 . . . . . 6 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦))
2927, 28syl 14 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦))
30293ad2ant1 1020 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦))
3126, 30mpbird 167 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴)
32 elex2 2768 . . 3 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ ∩ 𝐴)
3331, 32syl 14 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ ∩ 𝐴)
3420adantlr 477 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3522adantlr 477 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
36 simplr1 1041 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
37 simplr2 1042 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴)
38 simpr 110 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
39 elinti 3868 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ 𝑦))
4037, 38, 39sylc 62 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
41 simplr3 1043 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
42 elinti 3868 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑏 ∈ 𝑦))
4341, 38, 42sylc 62 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
44 eqid 2189 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
45 eqid 2189 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
46 eqid 2189 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
47 eqid 2189 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4844, 45, 46, 47, 6lssclg 13647 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4934, 35, 36, 40, 43, 48syl113anc 1261 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
5049ralrimiva 2563 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
51 vex 2755 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
5251a1i 9 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘₯ ∈ V)
53 vscaslid 12646 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx) ∧ ( ·𝑠 β€˜ndx) ∈ β„•)
5453slotex 12513 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) ∈ V)
55 vex 2755 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
5655a1i 9 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Ž ∈ V)
57 ovexg 5925 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ V ∧ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) ∈ V ∧ π‘Ž ∈ V) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ V)
5852, 54, 56, 57syl3anc 1249 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ V)
59 plusgslid 12596 . . . . . . . 8 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
6059slotex 12513 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (+gβ€˜π‘Š) ∈ V)
61 vex 2755 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
6261a1i 9 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑏 ∈ V)
63 ovexg 5925 . . . . . . 7 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ V ∧ (+gβ€˜π‘Š) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V)
6458, 60, 62, 63syl3anc 1249 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V)
65 elintg 3867 . . . . . 6 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
6664, 65syl 14 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
67663ad2ant1 1020 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
6867adantr 276 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦))
6950, 68mpbird 167 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
70 simp1 999 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
711, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70islssmd 13642 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  βˆƒwex 1503   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468  Vcvv 2752   βŠ† wss 3144  π’« cpw 3590  βˆͺ cuni 3824  βˆ© cint 3859  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12486  +gcplusg 12561  Scalarcsca 12564   ·𝑠 cvsca 12565  0gc0g 12733  LModclmod 13570  LSubSpclss 13635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-sca 12577  df-vsca 12578  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-ring 13319  df-lmod 13572  df-lssm 13636
This theorem is referenced by:  lssincl  13668  lspf  13672
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