Theorem lssintclm 13573

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2188	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2188	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2188	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2188	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2188	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lssintcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		intssuni2m 3880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
9	8	3adant1 1016	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
10		eqid 2187	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 6	lssssg 13549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12		velpw 3594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
14	13	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)))
15	14	ssrdv 3173	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊))
16		sspwuni 3983	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	3ad2ant1 1019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
19	9, 18	sstrd 3177	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
20		simpl1 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simp2 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22	21	sselda 3167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23		eqid 2187	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	23, 6	lss0cl 13558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
26	25	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
27	10, 23	lmod0vcl 13506	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
28		elintg 3864	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
30	29	3ad2ant1 1019	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴)
32		elex2 2765	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ∩ 𝐴)
33	31, 32	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 𝑤 ∈ ∩ 𝐴)
34	20	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
35	22	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
36		simplr1 1040	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37		simplr2 1041	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐴)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
39		elinti 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑦))
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝑦)
41		simplr3 1042	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
42		elinti 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑏 ∈ 𝑦))
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑦)
44		eqid 2187	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
45		eqid 2187	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
46		eqid 2187	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
47		eqid 2187	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 13553	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1260	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
50	49	ralrimiva 2560	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
51		vex 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑥 ∈ V)
53		vscaslid 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
54	53	slotex 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
55		vex 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
57		ovexg 5922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
59		plusgslid 12586	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
60	59	slotex 12503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) ∈ V)
61		vex 2752	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
63		ovexg 5922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V ∧ (+g‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1248	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
65		elintg 3864	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
67	66	3ad2ant1 1019	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
68	67	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
69	50, 68	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
70		simp1 998	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 13548	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  Vcvv 2749   ⊆ wss 3141  𝒫 cpw 3587  ∪ cuni 3821  ∩ cint 3856  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12476  +_gcplusg 12551  Scalarcsca 12554   ·_𝑠 cvsca 12555  0_gc0g 12723  LModclmod 13476  LSubSpclss 13541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-sbg 12904  df-mgp 13173  df-ur 13212  df-ring 13250  df-lmod 13478  df-lssm 13542

This theorem is referenced by:  lssincl  13574  lspf  13578