ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lssintclm GIF version

Theorem lssintclm 13940
Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssintclm ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem lssintclm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2197 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2197 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2197 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2197 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2197 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 9 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 intssuni2m 3898 . . . 4 ((𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝐴 𝑆)
983adant1 1017 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝐴 𝑆)
10 eqid 2196 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110, 6lssssg 13916 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12 velpw 3612 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12sylibr 134 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
1413ex 115 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑦𝑆𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)))
1514ssrdv 3189 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊))
16 sspwuni 4001 . . . . 5 (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
1715, 16sylib 122 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
18173ad2ant1 1020 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
199, 18sstrd 3193 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
20 simpl1 1002 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simp2 1000 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝐴𝑆)
2221sselda 3183 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
23 eqid 2196 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2423, 6lss0cl 13925 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2520, 22, 24syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2625ralrimiva 2570 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2710, 23lmod0vcl 13873 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
28 elintg 3882 . . . . . 6 ((0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊) → ((0g𝑊) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦))
2927, 28syl 14 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ((0g𝑊) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦))
30293ad2ant1 1020 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → ((0g𝑊) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦))
3126, 30mpbird 167 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → (0g𝑊) ∈ 𝐴)
32 elex2 2779 . . 3 ((0g𝑊) ∈ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 𝐴)
3331, 32syl 14 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → ∃𝑤 𝑤 𝐴)
3420adantlr 477 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
3522adantlr 477 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
36 simplr1 1041 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37 simplr2 1042 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎 𝐴)
38 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
39 elinti 3883 . . . . . 6 (𝑎 𝐴 → (𝑦𝐴𝑎𝑦))
4037, 38, 39sylc 62 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎𝑦)
41 simplr3 1043 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏 𝐴)
42 elinti 3883 . . . . . 6 (𝑏 𝐴 → (𝑦𝐴𝑏𝑦))
4341, 38, 42sylc 62 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏𝑦)
44 eqid 2196 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
45 eqid 2196 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
46 eqid 2196 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
47 eqid 2196 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4844, 45, 46, 47, 6lssclg 13920 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑦𝑏𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4934, 35, 36, 40, 43, 48syl113anc 1261 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
5049ralrimiva 2570 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
51 vex 2766 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
5251a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑥 ∈ V)
53 vscaslid 12840 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
5453slotex 12705 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) ∈ V)
55 vex 2766 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
5655a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
57 ovexg 5956 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ ( ·𝑠𝑊) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ V)
5852, 54, 56, 57syl3anc 1249 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ V)
59 plusgslid 12790 . . . . . . . 8 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
6059slotex 12705 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) ∈ V)
61 vex 2766 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
6261a1i 9 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
63 ovexg 5956 . . . . . . 7 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ V ∧ (+g𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V)
6458, 60, 62, 63syl3anc 1249 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V)
65 elintg 3882 . . . . . 6 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
6664, 65syl 14 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
67663ad2ant1 1020 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
6867adantr 276 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
6950, 68mpbird 167 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴)
70 simp1 999 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
711, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70islssmd 13915 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴) → 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wex 1506  wcel 2167  wral 2475  Vcvv 2763  wss 3157  𝒫 cpw 3605   cuni 3839   cint 3874  cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +gcplusg 12755  Scalarcsca 12758   ·𝑠 cvsca 12759  0gc0g 12927  LModclmod 13843  LSubSpclss 13908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-lssm 13909
This theorem is referenced by:  lssincl  13941  lspf  13945
  Copyright terms: Public domain W3C validator