Theorem lssintclm 14146

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lssintcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		intssuni2m 3909	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
9	8	3adant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
10		eqid 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 6	lssssg 14122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12		velpw 3623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
14	13	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)))
15	14	ssrdv 3199	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊))
16		sspwuni 4012	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
19	9, 18	sstrd 3203	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
20		simpl1 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simp2 1001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
22	21	sselda 3193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23		eqid 2205	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
24	23, 6	lss0cl 14131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
26	25	ralrimiva 2579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
27	10, 23	lmod0vcl 14079	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
28		elintg 3893	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
30	29	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦))
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴)
32		elex2 2788	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ∩ 𝐴)
33	31, 32	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 𝑤 ∈ ∩ 𝐴)
34	20	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
35	22	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
36		simplr1 1042	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37		simplr2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐴)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
39		elinti 3894	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑦))
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝑦)
41		simplr3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
42		elinti 3894	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑏 ∈ 𝑦))
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑦)
44		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
45		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
46		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
47		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 14126	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1262	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
50	49	ralrimiva 2579	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
51		vex 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑥 ∈ V)
53		vscaslid 12995	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
54	53	slotex 12859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
55		vex 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑎 ∈ V)
57		ovexg 5978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V)
59		plusgslid 12944	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
60	59	slotex 12859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) ∈ V)
61		vex 2775	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑏 ∈ V)
63		ovexg 5978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ V ∧ (+g‘𝑊) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V)
65		elintg 3893	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
67	66	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
68	67	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦))
69	50, 68	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
70		simp1 1000	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 14121	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  Vcvv 2772   ⊆ wss 3166  𝒫 cpw 3616  ∪ cuni 3850  ∩ cint 3885  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  Basecbs 12832  +_gcplusg 12909  Scalarcsca 12912   ·_𝑠 cvsca 12913  0_gc0g 13088  LModclmod 14049  LSubSpclss 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-lmod 14051  df-lssm 14115

This theorem is referenced by:  lssincl  14147  lspf  14151