ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unirnioo GIF version

Theorem unirnioo 9389
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 9364 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 9387 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 5161 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 7542 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 7538 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 5792 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1273 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2161 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 3681 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 7 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 5169 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 7 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 3813 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 143 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3041 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  wss 2999  𝒫 cpw 3429   cuni 3653   × cxp 4436  ran crn 4439   Fn wfn 5010  wf 5011  (class class class)co 5652  cr 7347  +∞cpnf 7517  -∞cmnf 7518  *cxr 7519  (,)cioo 9304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-ioo 9308
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator