Theorem unirnioo 9934

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 9909	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 9932	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 5349	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 7980	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 7976	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 6004	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1333	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2245	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 3825	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 5358	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 3958	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 144	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 3164	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1349   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3122  𝒫 cpw 3567  ∪ cuni 3797   × cxp 4610  ran crn 4613   Fn wfn 5195  ⟶wf 5196  (class class class)co 5857  ℝcr 7777  +∞cpnf 7955  -∞cmnf 7956  ℝ^*cxr 7957  (,)cioo 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-ioo 9853

This theorem is referenced by:  uniretop  13404  tgioo  13425