Theorem unirnioo 9976

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 9951	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 9974	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 5367	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 8017	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 8013	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 6025	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1337	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2251	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 3839	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 5376	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 3973	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 145	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 3173	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  𝒫 cpw 3577  ∪ cuni 3811   × cxp 4626  ran crn 4629   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  +∞cpnf 7992  -∞cmnf 7993  ℝ^*cxr 7994  (,)cioo 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-ioo 9895

This theorem is referenced by:  uniretop  14165  tgioo  14186