Theorem unirnioo 9389

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 9364	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 9387	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 5161	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 7542	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 7538	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 5792	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1273	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2161	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 3681	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 5169	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 3813	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 143	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 3041	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   ⊆ wss 2999  𝒫 cpw 3429  ∪ cuni 3653   × cxp 4436  ran crn 4439   Fn wfn 5010  ⟶wf 5011  (class class class)co 5652  ℝcr 7347  +∞cpnf 7517  -∞cmnf 7518  ℝ^*cxr 7519  (,)cioo 9304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-ioo 9308

This theorem is referenced by: (None)