ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oacl GIF version

Theorem oacl 6356
Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oacl ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem oacl
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oav 6350 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) = (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵))
2 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
3 vex 2689 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
4 suceq 4324 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
5 eqid 2139 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
63sucex 4415 . . . . . . . . 9 suc 𝑤 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 5498 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤)
83, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤
98eleq1i 2205 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ suc 𝑤 ∈ On)
109ralbii 2441 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ ∀𝑤 ∈ On suc 𝑤 ∈ On)
11 suceloni 4417 . . . . 5 (𝑤 ∈ On → suc 𝑤 ∈ On)
1210, 11mprgbir 2490 . . . 4 𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On
1312a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ On → ∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On)
142, 13rdgon 6283 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵) ∈ On)
151, 14eqeltrd 2216 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  Vcvv 2686  cmpt 3989  Oncon0 4285  suc csuc 4287  cfv 5123  (class class class)co 5774  reccrdg 6266   +o coa 6310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317
This theorem is referenced by:  omcl  6357  omv2  6361
  Copyright terms: Public domain W3C validator