ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oacl GIF version

Theorem oacl 6437
Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oacl ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem oacl
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oav 6431 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) = (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵))
2 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
3 vex 2733 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
4 suceq 4385 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
5 eqid 2170 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
63sucex 4481 . . . . . . . . 9 suc 𝑤 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 5571 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤)
83, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤
98eleq1i 2236 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ suc 𝑤 ∈ On)
109ralbii 2476 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ ∀𝑤 ∈ On suc 𝑤 ∈ On)
11 suceloni 4483 . . . . 5 (𝑤 ∈ On → suc 𝑤 ∈ On)
1210, 11mprgbir 2528 . . . 4 𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On
1312a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ On → ∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On)
142, 13rdgon 6363 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵) ∈ On)
151, 14eqeltrd 2247 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  Vcvv 2730  cmpt 4048  Oncon0 4346  suc csuc 4348  cfv 5196  (class class class)co 5851  reccrdg 6346   +o coa 6390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-oadd 6397
This theorem is referenced by:  omcl  6438  omv2  6442
  Copyright terms: Public domain W3C validator