Theorem oacl 6536

Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oacl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem oacl

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oav 6530	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) = (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵))
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
3		vex 2774	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
4		suceq 4447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
5		eqid 2204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
6	3	sucex 4545	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑤 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 5650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤)
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤
9	8	eleq1i 2270	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ suc 𝑤 ∈ On)
10	9	ralbii 2511	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ ∀𝑤 ∈ On suc 𝑤 ∈ On)
11		onsuc 4547	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ On → suc 𝑤 ∈ On)
12	10, 11	mprgbir 2563	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On)
14	2, 13	rdgon 6462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵) ∈ On)
15	1, 14	eqeltrd 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  Vcvv 2771   ↦ cmpt 4104  Oncon0 4408  suc csuc 4410  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  reccrdg 6445   +_o coa 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-oadd 6496

This theorem is referenced by:  omcl  6537  omv2  6541