Theorem rdgon 6354

Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgon.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
rdgon.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ On (𝐹‘𝑥) ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
rdgon	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ On)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rdgon

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6338	. 2 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
2		funmpt 5226	. . 3 ⊢ Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
4		ordon 4463	. . 3 ⊢ Ord On
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord On)
6		vex 2729	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7		rdgon.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
8	7	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
9	8	3ad2ant1 1008	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → 𝐴 ∈ On)
10	6	dmex 4870	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
11		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑓‘𝑧)))
12	11	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∈ On ↔ (𝐹‘(𝑓‘𝑧)) ∈ On))
13		rdgon.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ On (𝐹‘𝑥) ∈ On)
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → ∀𝑥 ∈ On (𝐹‘𝑥) ∈ On)
15	14	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∀𝑥 ∈ On (𝐹‘𝑥) ∈ On)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → ∀𝑥 ∈ On (𝐹‘𝑥) ∈ On)
17		simpl3 992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝑦⟶On)
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → 𝑧 ∈ dom 𝑓)
19		fdm 5343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑦⟶On → dom 𝑓 = 𝑦)
20	19	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑦⟶On → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
22	18, 21	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → 𝑧 ∈ 𝑦)
23	17, 22	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑧) ∈ On)
24	12, 16, 23	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → (𝐹‘(𝑓‘𝑧)) ∈ On)
25	24	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∀𝑧 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑧)) ∈ On)
26		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
27	26	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑓‘𝑧)))
28	27	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On ↔ (𝐹‘(𝑓‘𝑧)) ∈ On))
29	28	cbvralv 2692	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑧)) ∈ On)
30	25, 29	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On)
31		iunon 6252	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On)
32	10, 30, 31	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On)
33		onun2 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)) ∈ On) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥))) ∈ On)
34	9, 32, 33	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥))) ∈ On)
35		dmeq 4804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → dom 𝑔 = dom 𝑓)
36		fveq1 5485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
37	36	fveq2d 5490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝐹‘(𝑔‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑓‘𝑥)))
38	35, 37	iuneq12d 3890	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥)))
39	38	uneq2d 3276	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥))))
40		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) = (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))
41	39, 40	fvmptg 5562	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥))) ∈ On) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥))))
42	6, 34, 41	sylancr 411	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓‘𝑥))))
43	42, 34	eqeltrd 2243	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ On)
44		unon 4488	. . . . . 6 ⊢ ∪ On = On
45	44	eleq2i 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ On ↔ 𝑦 ∈ On)
46	45	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ On → 𝑦 ∈ On)
47	46	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ On) → 𝑦 ∈ On)
48		suceloni 4478	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
49	47, 48	syl 14	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ On) → suc 𝑦 ∈ On)
50	44	eleq2i 2233	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ∪ On ↔ 𝐵 ∈ On)
51	50	biimpri 132	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ ∪ On)
52	51	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ∈ ∪ On)
53	1, 3, 5, 43, 49, 52	tfrcl 6332	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  ∪ cuni 3789  ∪ ciun 3866   ↦ cmpt 4043  Ord word 4340  Oncon0 4341  suc csuc 4343  dom cdm 4604  Fun wfun 5182  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  reccrdg 6337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-recs 6273  df-irdg 6338

This theorem is referenced by:  oacl  6428  omcl  6429  oeicl  6430