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Theorem rdgon 6213
Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgon.2 (𝜑𝐴 ∈ On)
rdgon.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ On (𝐹𝑥) ∈ On)
Assertion
Ref Expression
rdgon ((𝜑𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ On)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rdgon
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6197 . 2 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2 funmpt 5097 . . 3 Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
32a1i 9 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ On) → Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
4 ordon 4340 . . 3 Ord On
54a1i 9 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ On) → Ord On)
6 vex 2644 . . . 4 𝑓 ∈ V
7 rdgon.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ On)
87adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
983ad2ant1 970 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → 𝐴 ∈ On)
106dmex 4741 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
11 fveq2 5353 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑓𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑓𝑧)))
1211eleq1d 2168 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑓𝑧) → ((𝐹𝑥) ∈ On ↔ (𝐹‘(𝑓𝑧)) ∈ On))
13 rdgon.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ On (𝐹𝑥) ∈ On)
1413adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ On) → ∀𝑥 ∈ On (𝐹𝑥) ∈ On)
15143ad2ant1 970 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∀𝑥 ∈ On (𝐹𝑥) ∈ On)
1615adantr 272 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → ∀𝑥 ∈ On (𝐹𝑥) ∈ On)
17 simpl3 954 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → 𝑓:𝑦⟶On)
18 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → 𝑧 ∈ dom 𝑓)
19 fdm 5214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑦⟶On → dom 𝑓 = 𝑦)
2019eleq2d 2169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑦⟶On → (𝑧 ∈ dom 𝑓𝑧𝑦))
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → (𝑧 ∈ dom 𝑓𝑧𝑦))
2218, 21mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → 𝑧𝑦)
2317, 22ffvelrnd 5488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → (𝑓𝑧) ∈ On)
2412, 16, 23rspcdva 2749 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑓) → (𝐹‘(𝑓𝑧)) ∈ On)
2524ralrimiva 2464 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∀𝑧 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑧)) ∈ On)
26 fveq2 5353 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
2726fveq2d 5357 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑓𝑥)) = (𝐹‘(𝑓𝑧)))
2827eleq1d 2168 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On ↔ (𝐹‘(𝑓𝑧)) ∈ On))
2928cbvralv 2612 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑧)) ∈ On)
3025, 29sylibr 133 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ∀𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On)
31 iunon 6111 . . . . . 6 ((dom 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On) → 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On)
3210, 30, 31sylancr 408 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On)
33 onun2 4344 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)) ∈ On) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥))) ∈ On)
349, 32, 33syl2anc 406 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥))) ∈ On)
35 dmeq 4677 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → dom 𝑔 = dom 𝑓)
36 fveq1 5352 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔𝑥) = (𝑓𝑥))
3736fveq2d 5357 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → (𝐹‘(𝑔𝑥)) = (𝐹‘(𝑓𝑥)))
3835, 37iuneq12d 3784 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑓 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) = 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥)))
3938uneq2d 3177 . . . . 5 (𝑔 = 𝑓 → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) = (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥))))
40 eqid 2100 . . . . 5 (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
4139, 40fvmptg 5429 . . . 4 ((𝑓 ∈ V ∧ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥))) ∈ On) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) = (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥))))
426, 34, 41sylancr 408 . . 3 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) = (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑓(𝐹‘(𝑓𝑥))))
4342, 34eqeltrd 2176 . 2 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑓:𝑦⟶On) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ On)
44 unon 4365 . . . . . 6 On = On
4544eleq2i 2166 . . . . 5 (𝑦 On ↔ 𝑦 ∈ On)
4645biimpi 119 . . . 4 (𝑦 On → 𝑦 ∈ On)
4746adantl 273 . . 3 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 On) → 𝑦 ∈ On)
48 suceloni 4355 . . 3 (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
4947, 48syl 14 . 2 (((𝜑𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 On) → suc 𝑦 ∈ On)
5044eleq2i 2166 . . . 4 (𝐵 On ↔ 𝐵 ∈ On)
5150biimpri 132 . . 3 (𝐵 ∈ On → 𝐵 On)
5251adantl 273 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ On) → 𝐵 On)
531, 3, 5, 43, 49, 52tfrcl 6191 1 ((𝜑𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  Vcvv 2641  cun 3019   cuni 3683   ciun 3760  cmpt 3929  Ord word 4222  Oncon0 4223  suc csuc 4225  dom cdm 4477  Fun wfun 5053  wf 5055  cfv 5059  reccrdg 6196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-recs 6132  df-irdg 6197
This theorem is referenced by:  oacl  6286  omcl  6287  oeicl  6288
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