Theorem supp0cosupp0fn 6466

Description: The support of the composition of two functions is empty if the support of the outer function is empty. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
supp0cosupp0fn	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = ∅ → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = ∅))

Proof of Theorem supp0cosupp0fn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppcofn 6465	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = (◡𝐺 “ (𝐹 supp 𝑍)))
2		imaeq2 5096	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) = ∅ → (◡𝐺 “ (𝐹 supp 𝑍)) = (◡𝐺 “ ∅))
3		ima0 5120	. . . 4 ⊢ (◡𝐺 “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2281	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) = ∅ → (◡𝐺 “ (𝐹 supp 𝑍)) = ∅)
5	1, 4	sylan9eq 2285	. 2 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = ∅) → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = ∅)
6	5	ex 115	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = ∅ → ((𝐹 ∘ 𝐺) supp 𝑍) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3507  ^◡ccnv 4747   “ cima 4751   ∘ ccom 4752  Fun wfun 5345  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by: (None)