Theorem imaeq2 4967

Description: Equality theorem for image. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imaeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) = (𝐶 “ 𝐵))

Proof of Theorem imaeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq2 4903	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ↾ 𝐴) = (𝐶 ↾ 𝐵))
2	1	rneqd 4857	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran (𝐶 ↾ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐵))
3		df-ima 4640	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐴)
4		df-ima 4640	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐵) = ran (𝐶 ↾ 𝐵)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2235	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) = (𝐶 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  ran crn 4628   ↾ cres 4629   “ cima 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640

This theorem is referenced by:  imaeq2i  4969  imaeq2d  4971  ssimaex  5578  ssimaexg  5579  isoselem  5821  f1opw2  6077  fopwdom  6836  ssenen  6851  fiintim  6928  fidcenumlemrk  6953  fidcenumlemr  6954  sbthlem2  6957  isbth  6966  ennnfonelemp1  12407  ennnfonelemnn0  12423  ctinfomlemom  12428  ctinfom  12429  tgcn  13711  iscnp4  13721  cnpnei  13722  cnima  13723  cnconst2  13736  cnrest2  13739  cnptoprest  13742  txcnp  13774  txcnmpt  13776  metcnp3  14014