Theorem uniqs2 6366

Description: The union of a quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsss.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝐴)
qsss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
uniqs2	⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = 𝐴)

Proof of Theorem uniqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uniqs 6364	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = (𝑅 “ 𝐴))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = (𝑅 “ 𝐴))
4		qsss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝐴)
5		erdm 6316	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → dom 𝑅 = 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐴)
7	6	imaeq2d 4787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ dom 𝑅) = (𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	eqtr4d 2124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = (𝑅 “ dom 𝑅))
9		imadmrn 4797	. . 3 ⊢ (𝑅 “ dom 𝑅) = ran 𝑅
10	8, 9	syl6eq 2137	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = ran 𝑅)
11		errn 6328	. . 3 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → ran 𝑅 = 𝐴)
12	4, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = 𝐴)
13	10, 12	eqtrd 2121	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∪ cuni 3659  dom cdm 4452  ran crn 4453   “ cima 4455   Er wer 6303   / cqs 6305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312

This theorem is referenced by: (None)