Theorem pw1fin 7211

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1_o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ∈ Fin)

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 7210	. . . 4 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o = 2o)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (EXMID → 𝒫 1o = 2o)
3		2onn 6788	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
4		nnfi 7168	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2o ∈ Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2329	. 2 ⊢ (EXMID → 𝒫 1o ∈ Fin)
7		df1o2 6695	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
8	7	sseq2i 3275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ 1o ↔ 𝑥 ⊆ {∅})
9		velpw 3695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 1o ↔ 𝑥 ⊆ 1o)
10		1oex 6689	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
11	10	pwid 3706	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
12		fidceq 7165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o ∧ 1o ∈ 𝒫 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
13	11, 12	mp3an3 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
14	9, 13	sylan2br 288	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
15	8, 14	sylan2br 288	. . . 4 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {∅}) → DECID 𝑥 = 1o)
16	7	eqeq2i 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1o ↔ 𝑥 = {∅})
17	16	dcbii 852	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 = 1o ↔ DECID 𝑥 = {∅})
18	15, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {∅}) → DECID 𝑥 = {∅})
19	18	exmid1dc 4335	. 2 ⊢ (𝒫 1o ∈ Fin → EXMID)
20	6, 19	impbii 126	1 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ∈ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3708  EXMIDwem 4329  ωcom 4735  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675  Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-exmid 4330  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-2o 6682  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by: (None)