Theorem pw1fin 6848

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1_o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ∈ Fin)

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 6847	. . . 4 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o = 2o)
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (EXMID → 𝒫 1o = 2o)
3		2onn 6461	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
4		nnfi 6810	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2o ∈ Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2248	. 2 ⊢ (EXMID → 𝒫 1o ∈ Fin)
7		df1o2 6370	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
8	7	sseq2i 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ 1o ↔ 𝑥 ⊆ {∅})
9		velpw 3550	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 1o ↔ 𝑥 ⊆ 1o)
10		1oex 6365	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
11	10	pwid 3558	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
12		fidceq 6807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o ∧ 1o ∈ 𝒫 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
13	11, 12	mp3an3 1308	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
14	9, 13	sylan2br 286	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
15	8, 14	sylan2br 286	. . . 4 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {∅}) → DECID 𝑥 = 1o)
16	7	eqeq2i 2168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1o ↔ 𝑥 = {∅})
17	16	dcbii 826	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 = 1o ↔ DECID 𝑥 = {∅})
18	15, 17	sylib 121	. . 3 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {∅}) → DECID 𝑥 = {∅})
19	18	exmid1dc 4160	. 2 ⊢ (𝒫 1o ∈ Fin → EXMID)
20	6, 19	impbii 125	1 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ∈ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  {csn 3560  EXMIDwem 4154  ωcom 4547  1_oc1o 6350  2_oc2o 6351  Fincfn 6678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-exmid 4155  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-1o 6357  df-2o 6358  df-en 6679  df-fin 6681

This theorem is referenced by: (None)