Theorem pw1fin 6968

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1_o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ∈ Fin)

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 6967	. . . 4 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o = 2o)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (EXMID → 𝒫 1o = 2o)
3		2onn 6576	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
4		nnfi 6930	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2o ∈ Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2284	. 2 ⊢ (EXMID → 𝒫 1o ∈ Fin)
7		df1o2 6484	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
8	7	sseq2i 3207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ 1o ↔ 𝑥 ⊆ {∅})
9		velpw 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 1o ↔ 𝑥 ⊆ 1o)
10		1oex 6479	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
11	10	pwid 3617	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
12		fidceq 6927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o ∧ 1o ∈ 𝒫 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
13	11, 12	mp3an3 1337	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
14	9, 13	sylan2br 288	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 1o) → DECID 𝑥 = 1o)
15	8, 14	sylan2br 288	. . . 4 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {∅}) → DECID 𝑥 = 1o)
16	7	eqeq2i 2204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1o ↔ 𝑥 = {∅})
17	16	dcbii 841	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 = 1o ↔ DECID 𝑥 = {∅})
18	15, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝒫 1o ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {∅}) → DECID 𝑥 = {∅})
19	18	exmid1dc 4230	. 2 ⊢ (𝒫 1o ∈ Fin → EXMID)
20	6, 19	impbii 126	1 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ∈ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  𝒫 cpw 3602  {csn 3619  EXMIDwem 4224  ωcom 4623  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465  Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-exmid 4225  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-2o 6472  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by: (None)