Theorem subsubrg2 14324

Description: The set of subrings of a subring are the smaller subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subsubrg2	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem subsubrg2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubrg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subsubrg 14323	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴)))
3		elin 3392	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴))
4		velpw 3663	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐴)
5	4	anbi2i 457	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴))
6	3, 5	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))
7	2, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴)))
8	7	eqrdv 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ↾_s cress 13146  SubRingcsubrg 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-subg 13820  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-subrg 14297

This theorem is referenced by: (None)