Theorem subsubrg2 14527

Description: The set of subrings of a subring are the smaller subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subsubrg2	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem subsubrg2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubrg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subsubrg 14526	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴)))
3		elin 3412	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴))
4		velpw 3692	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐴)
5	4	anbi2i 461	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴))
6	3, 5	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))
7	2, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴)))
8	7	eqrdv 2236	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ↾_s cress 13331  SubRingcsubrg 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-subrg 14500

This theorem is referenced by: (None)