ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsubrg2 GIF version

Theorem subsubrg2 13305
Description: The set of subrings of a subring are the smaller subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subsubrg2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (SubRingβ€˜π‘†) = ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem subsubrg2
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subsubrg.s . . . 4 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
21subsubrg 13304 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)))
3 elin 3318 . . . 4 (π‘Ž ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴))
4 velpw 3582 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴 ↔ π‘Ž βŠ† 𝐴)
54anbi2i 457 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
63, 5bitr2i 185 . . 3 ((π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ π‘Ž ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ 𝒫 𝐴))
72, 6bitrdi 196 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ π‘Ž ∈ ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ 𝒫 𝐴)))
87eqrdv 2175 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (SubRingβ€˜π‘†) = ((SubRingβ€˜π‘…) ∩ 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3128   βŠ† wss 3129  π’« cpw 3575  β€˜cfv 5215  (class class class)co 5872   β†Ύs cress 12455  SubRingcsubrg 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-subg 12961  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-ring 13112  df-subrg 13278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator