Theorem xnn0dcle 9802

Description: Decidability of ≤ for extended nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0dcle	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xnn0dcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9373	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9373	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zdcle 9329	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 9230	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	ltpnfd 9781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 < +∞)
11		pnfxr 8010	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	9	rexrd 8007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrlenlt 8022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
15	14	biimpd 144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 → ¬ 𝐵 < +∞))
16	10, 15	mt2d 625	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
17	7, 16	eqnbrtrd 4022	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
18	17	olcd 734	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
19		df-dc 835	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
21		elxnn0 9241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
22	21	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
23	22	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
24	6, 20, 23	mpjaodan 798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
25		xnn0xr 9244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		pnfge 9789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
29		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
30	28, 29	breqtrrd 4032	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	orcd 733	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
32	31, 19	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
33		elxnn0 9241	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
34	33	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
36	24, 32, 35	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  +∞cpnf 7989  ℝ^*cxr 7991   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℕ₀cn0 9176  ℕ₀^*cxnn0 9239  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-xnn0 9240  df-z 9254

This theorem is referenced by:  pcgcd  12328