Theorem xnn0dcle 9924

Description: Decidability of ≤ for extended nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0dcle	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xnn0dcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9493	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9493	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zdcle 9449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 9349	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	ltpnfd 9903	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 < +∞)
11		pnfxr 8125	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	9	rexrd 8122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrlenlt 8137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
15	14	biimpd 144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 → ¬ 𝐵 < +∞))
16	10, 15	mt2d 626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
17	7, 16	eqnbrtrd 4062	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
18	17	olcd 736	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
19		df-dc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
21		elxnn0 9360	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
22	21	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
23	22	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
24	6, 20, 23	mpjaodan 800	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
25		xnn0xr 9363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		pnfge 9911	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
29		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
30	28, 29	breqtrrd 4072	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	orcd 735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
32	31, 19	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
33		elxnn0 9360	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
34	33	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
36	24, 32, 35	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  +∞cpnf 8104  ℝ^*cxr 8106   < clt 8107   ≤ cle 8108  ℕ₀cn0 9295  ℕ₀^*cxnn0 9358  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-xnn0 9359  df-z 9373

This theorem is referenced by:  pcgcd  12652