Theorem xnn0dcle 9994

Description: Decidability of ≤ for extended nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0dcle	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xnn0dcle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9563	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9563	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zdcle 9519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 9419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	ltpnfd 9973	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 < +∞)
11		pnfxr 8195	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	9	rexrd 8192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrlenlt 8207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
15	14	biimpd 144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 → ¬ 𝐵 < +∞))
16	10, 15	mt2d 628	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
17	7, 16	eqnbrtrd 4100	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
18	17	olcd 739	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
19		df-dc 840	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
21		elxnn0 9430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
22	21	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
23	22	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
24	6, 20, 23	mpjaodan 803	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
25		xnn0xr 9433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		pnfge 9981	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
29		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
30	28, 29	breqtrrd 4110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	orcd 738	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
32	31, 19	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)
33		elxnn0 9430	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
34	33	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
36	24, 32, 35	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → DECID 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  +∞cpnf 8174  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177   ≤ cle 8178  ℕ₀cn0 9365  ℕ₀^*cxnn0 9428  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-xnn0 9429  df-z 9443

This theorem is referenced by:  pcgcd  12847