ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnn0letri GIF version

Theorem xnn0letri 9733
Description: Dichotomy for extended nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
xnn0letri ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem xnn0letri
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
21nn0zd 9305 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 simplr 520 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
43nn0zd 9305 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 zletric 9229 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
62, 4, 5syl2anc 409 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 xnn0xr 9176 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℝ*)
8 pnfge 9719 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
97, 8syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0*𝐵 ≤ +∞)
109ad3antlr 485 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
11 simpr 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
1210, 11breqtrrd 4007 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵𝐴)
1312olcd 724 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
14 elxnn0 9173 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
1514biimpi 119 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
1615ad2antrr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
176, 13, 16mpjaodan 788 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
18 xnn0xr 9176 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
1918ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 pnfge 9719 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
2119, 20syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
22 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
2321, 22breqtrrd 4007 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
2423orcd 723 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
25 elxnn0 9173 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
2625biimpi 119 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
2726adantl 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
2817, 24, 27mpjaodan 788 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698   = wceq 1342  wcel 2135   class class class wbr 3979  +∞cpnf 7924  *cxr 7926  cle 7928  0cn0 9108  0*cxnn0 9171  cz 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-inn 8852  df-n0 9109  df-xnn0 9172  df-z 9186
This theorem is referenced by:  pcgcd  12254
  Copyright terms: Public domain W3C validator