Theorem xnn0letri 9869

Description: Dichotomy for extended nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0letri	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xnn0letri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9437	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9437	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zletric 9361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
7		xnn0xr 9308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		pnfge 9855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → 𝐵 ≤ +∞)
10	9	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
12	10, 11	breqtrrd 4057	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13	12	olcd 735	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
14		elxnn0 9305	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
15	14	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
16	15	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
17	6, 13, 16	mpjaodan 799	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
18		xnn0xr 9308	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20		pnfge 9855	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
22		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
23	21, 22	breqtrrd 4057	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
24	23	orcd 734	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
25		elxnn0 9305	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
26	25	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
27	26	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
28	17, 24, 27	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  +∞cpnf 8051  ℝ^*cxr 8053   ≤ cle 8055  ℕ₀cn0 9240  ℕ₀^*cxnn0 9303  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-z 9318

This theorem is referenced by:  pcgcd  12467