Theorem xrleid 9866

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9845	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		xrlenlt 8084	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
3	2	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  xrleidd  9867  iccid  9991  ubioc1  9995  lbico1  9996  lbicc2  10050  ubicc2  10051  xrmaxifle  11389