Theorem xrleid 10035

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 10014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		xrlenlt 8244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
3	2	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  xrleidd  10036  iccid  10160  ubioc1  10164  lbico1  10165  lbicc2  10219  ubicc2  10220  xrmaxifle  11808