ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlenlt GIF version

Theorem xrlenlt 7648
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 3868 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ )
2 opelxpi 4499 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 7625 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2161 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 3022 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
64, 5bitri 183 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
76baib 869 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
82, 7syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
91, 8syl5bb 191 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
10 opelcnvg 4647 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < ))
11 df-br 3868 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < )
1210, 11syl6rbbr 198 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
1312notbid 630 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
149, 13bitr4d 190 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1445  cdif 3010  cop 3469   class class class wbr 3867   × cxp 4465  ccnv 4466  *cxr 7618   < clt 7619  cle 7620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-le 7625
This theorem is referenced by:  lenlt  7658  pnfge  9358  mnfle  9361  xrltle  9367  xrleid  9369  xrletri3  9371  xrlelttr  9372  xrltletr  9373  xrletr  9374  xgepnf  9382  xleneg  9403  xltadd1  9442  xsubge0  9447  xleaddadd  9453  iccid  9491  icc0r  9492  icodisj  9558  ioodisj  9559  ioo0  9820  ico0  9822  ioc0  9823  leisorel  10373  xrmaxleim  10803  xrmaxiflemval  10809  xrmaxlesup  10818  xrmaxaddlem  10819  xrminmax  10824  bldisj  12203  bdxmet  12303  bdbl  12305
  Copyright terms: Public domain W3C validator