ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlenlt GIF version

Theorem xrlenlt 7454
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 3812 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ )
2 opelxpi 4432 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 7431 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2149 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 2993 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
64, 5bitri 182 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
76baib 862 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
82, 7syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≤ ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
91, 8syl5bb 190 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
10 opelcnvg 4574 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < ))
11 df-br 3812 . . . 4 (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ < )
1210, 11syl6rbbr 197 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
1312notbid 625 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ < ))
149, 13bitr4d 189 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434  cdif 2981  cop 3425   class class class wbr 3811   × cxp 4399  ccnv 4400  *cxr 7424   < clt 7425  cle 7426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-cnv 4409  df-le 7431
This theorem is referenced by:  lenlt  7464  pnfge  9154  mnfle  9157  xrltle  9163  xrleid  9164  xrletri3  9165  xrlelttr  9166  xrltletr  9167  xrletr  9168  xleneg  9194  iccid  9238  icc0r  9239  icodisj  9304  ioodisj  9305  ioo0  9560  ico0  9562  ioc0  9563
  Copyright terms: Public domain W3C validator