Theorem iccid 10077

Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 10076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
2	1	anidms 397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
3		xrlenlt 8167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4		xrlenlt 8167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
5	4	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6		xrlttri3 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
7	6	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
8	7	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
9	8	expcomd 1462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10	5, 9	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
11	10	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
12	3, 11	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
13	12	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴))))
14	13	3impd 1224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15		eleq1a 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*))
16		xrleid 9952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
17		breq2 4058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18	16, 17	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝑥))
19		breq1 4057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
20	16, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
21	15, 18, 20	3jcad 1181	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
22	14, 21	impbid 129	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23		velsn 3655	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
24	22, 23	bitr4di 198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
25	2, 24	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
26	25	eqrdv 2204	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3638   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  ℝ^*cxr 8136   < clt 8137   ≤ cle 8138  [,]cicc 10043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-apti 8070

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-icc 10047

This theorem is referenced by: (None)