Theorem elxr 9851

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8065	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3304	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8080	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8083	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2775	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {cpr 3623  ℝcr 7878  +∞cpnf 8058  -∞cmnf 8059  ℝ^*cxr 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-un 4468  ax-cnex 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9852  xrnepnf  9853  xrltnr  9854  xrltnsym  9868  xrlttr  9870  xrltso  9871  xrlttri3  9872  nltpnft  9889  npnflt  9890  ngtmnft  9892  nmnfgt  9893  xrrebnd  9894  xnegcl  9907  xnegneg  9908  xltnegi  9910  xrpnfdc  9917  xrmnfdc  9918  xnegid  9934  xaddcom  9936  xaddid1  9937  xnegdi  9943  xleadd1a  9948  xltadd1  9951  xlt2add  9955  xsubge0  9956  xposdif  9957  xleaddadd  9962  qbtwnxr  10347  xrmaxiflemcl  11410  xrmaxifle  11411  xrmaxiflemab  11412  xrmaxiflemlub  11413  xrmaxltsup  11423  xrmaxadd  11426  xrbdtri  11441  isxmet2d  14584  blssioo  14789