Theorem elxr 10004

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8211	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8226	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8229	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2813	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 767	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3196  {cpr 3668  ℝcr 8024  +∞cpnf 8204  -∞cmnf 8205  ℝ^*cxr 8206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-un 4528  ax-cnex 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10005  xrnepnf  10006  xrltnr  10007  xrltnsym  10021  xrlttr  10023  xrltso  10024  xrlttri3  10025  nltpnft  10042  npnflt  10043  ngtmnft  10045  nmnfgt  10046  xrrebnd  10047  xnegcl  10060  xnegneg  10061  xltnegi  10063  xrpnfdc  10070  xrmnfdc  10071  xnegid  10087  xaddcom  10089  xaddid1  10090  xnegdi  10096  xleadd1a  10101  xltadd1  10104  xlt2add  10108  xsubge0  10109  xposdif  10110  xleaddadd  10115  qbtwnxr  10510  xrmaxiflemcl  11799  xrmaxifle  11800  xrmaxiflemab  11801  xrmaxiflemlub  11802  xrmaxltsup  11812  xrmaxadd  11815  xrbdtri  11830  isxmet2d  15065  blssioo  15270