Theorem elxr 10011

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8218	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3348	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8233	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8236	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2815	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198  {cpr 3670  ℝcr 8031  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-cnex 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10012  xrnepnf  10013  xrltnr  10014  xrltnsym  10028  xrlttr  10030  xrltso  10031  xrlttri3  10032  nltpnft  10049  npnflt  10050  ngtmnft  10052  nmnfgt  10053  xrrebnd  10054  xnegcl  10067  xnegneg  10068  xltnegi  10070  xrpnfdc  10077  xrmnfdc  10078  xnegid  10094  xaddcom  10096  xaddid1  10097  xnegdi  10103  xleadd1a  10108  xltadd1  10111  xlt2add  10115  xsubge0  10116  xposdif  10117  xleaddadd  10122  qbtwnxr  10518  xrmaxiflemcl  11807  xrmaxifle  11808  xrmaxiflemab  11809  xrmaxiflemlub  11810  xrmaxltsup  11820  xrmaxadd  11823  xrbdtri  11838  isxmet2d  15075  blssioo  15280