Theorem elxr 10180

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8364	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8379	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8382	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710  ℝcr 8178  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364

This theorem is used by:  xrnemnf  10181  xrnepnf  10182  xrltnr  10183  xrltnsym  10197  xrlttr  10199  xrltso  10200  xrlttri3  10201  nltpnft  10218  npnflt  10219  ngtmnft  10221  nmnfgt  10222  xrrebnd  10223  xnegcl  10236  xnegneg  10237  xltnegi  10239  xrpnfdc  10246  xrmnfdc  10247  xnegid  10263  xaddcom  10265  xaddid1  10266  xnegdi  10272  xleadd1a  10277  xltadd1  10280  xlt2add  10284  xsubge0  10285  xposdif  10286  xleaddadd  10291  qbtwnxr  10694  xrmaxiflemcl  12013  xrmaxifle  12014  xrmaxiflemab  12015  xrmaxiflemlub  12016  xrmaxltsup  12026  xrmaxadd  12029  xrbdtri  12044  isxmet2d  15451  blssioo  15656