Theorem elxr 9870

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8084	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8099	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8102	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2775	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {cpr 3624  ℝcr 7897  +∞cpnf 8077  -∞cmnf 8078  ℝ^*cxr 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9871  xrnepnf  9872  xrltnr  9873  xrltnsym  9887  xrlttr  9889  xrltso  9890  xrlttri3  9891  nltpnft  9908  npnflt  9909  ngtmnft  9911  nmnfgt  9912  xrrebnd  9913  xnegcl  9926  xnegneg  9927  xltnegi  9929  xrpnfdc  9936  xrmnfdc  9937  xnegid  9953  xaddcom  9955  xaddid1  9956  xnegdi  9962  xleadd1a  9967  xltadd1  9970  xlt2add  9974  xsubge0  9975  xposdif  9976  xleaddadd  9981  qbtwnxr  10366  xrmaxiflemcl  11429  xrmaxifle  11430  xrmaxiflemab  11431  xrmaxiflemlub  11432  xrmaxltsup  11442  xrmaxadd  11445  xrbdtri  11460  isxmet2d  14692  blssioo  14897