Theorem elxr 10196

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8371	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8386	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8389	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710  ℝcr 8185  +∞cpnf 8364  -∞cmnf 8365  ℝ^*cxr 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371

This theorem is used by:  xrnemnf  10197  xrnepnf  10198  xrltnr  10199  xrltnsym  10213  xrlttr  10215  xrltso  10216  xrlttri3  10217  nltpnft  10234  npnflt  10235  ngtmnft  10237  nmnfgt  10238  xrrebnd  10239  xnegcl  10252  xnegneg  10253  xltnegi  10255  xrpnfdc  10262  xrmnfdc  10263  xnegid  10279  xaddcom  10281  xaddid1  10282  xnegdi  10288  xleadd1a  10293  xltadd1  10296  xlt2add  10300  xsubge0  10301  xposdif  10302  xleaddadd  10307  qbtwnxr  10710  xrmaxiflemcl  12037  xrmaxifle  12038  xrmaxiflemab  12039  xrmaxiflemlub  12040  xrmaxltsup  12050  xrmaxadd  12053  xrbdtri  12068  isxmet2d  15586  blssioo  15791