Theorem elxr 10131

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8328	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3364	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8343	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8346	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2828	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {cpr 3695  ℝcr 8142  +∞cpnf 8321  -∞cmnf 8322  ℝ^*cxr 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-un 4559  ax-cnex 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10132  xrnepnf  10133  xrltnr  10134  xrltnsym  10148  xrlttr  10150  xrltso  10151  xrlttri3  10152  nltpnft  10169  npnflt  10170  ngtmnft  10172  nmnfgt  10173  xrrebnd  10174  xnegcl  10187  xnegneg  10188  xltnegi  10190  xrpnfdc  10197  xrmnfdc  10198  xnegid  10214  xaddcom  10216  xaddid1  10217  xnegdi  10223  xleadd1a  10228  xltadd1  10231  xlt2add  10235  xsubge0  10236  xposdif  10237  xleaddadd  10242  qbtwnxr  10644  xrmaxiflemcl  11958  xrmaxifle  11959  xrmaxiflemab  11960  xrmaxiflemlub  11961  xrmaxltsup  11971  xrmaxadd  11974  xrbdtri  11989  isxmet2d  15342  blssioo  15547