Theorem elxr 10115

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8317	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3362	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8332	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8335	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2828	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3713	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211  {cpr 3692  ℝcr 8131  +∞cpnf 8310  -∞cmnf 8311  ℝ^*cxr 8312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-un 4556  ax-cnex 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10116  xrnepnf  10117  xrltnr  10118  xrltnsym  10132  xrlttr  10134  xrltso  10135  xrlttri3  10136  nltpnft  10153  npnflt  10154  ngtmnft  10156  nmnfgt  10157  xrrebnd  10158  xnegcl  10171  xnegneg  10172  xltnegi  10174  xrpnfdc  10181  xrmnfdc  10182  xnegid  10198  xaddcom  10200  xaddid1  10201  xnegdi  10207  xleadd1a  10212  xltadd1  10215  xlt2add  10219  xsubge0  10220  xposdif  10221  xleaddadd  10226  qbtwnxr  10624  xrmaxiflemcl  11938  xrmaxifle  11939  xrmaxiflemab  11940  xrmaxiflemlub  11941  xrmaxltsup  11951  xrmaxadd  11954  xrbdtri  11969  isxmet2d  15262  blssioo  15467