Theorem elxr 9856

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8070	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8085	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8088	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2775	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {cpr 3624  ℝcr 7883  +∞cpnf 8063  -∞cmnf 8064  ℝ^*cxr 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7975

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9857  xrnepnf  9858  xrltnr  9859  xrltnsym  9873  xrlttr  9875  xrltso  9876  xrlttri3  9877  nltpnft  9894  npnflt  9895  ngtmnft  9897  nmnfgt  9898  xrrebnd  9899  xnegcl  9912  xnegneg  9913  xltnegi  9915  xrpnfdc  9922  xrmnfdc  9923  xnegid  9939  xaddcom  9941  xaddid1  9942  xnegdi  9948  xleadd1a  9953  xltadd1  9956  xlt2add  9960  xsubge0  9961  xposdif  9962  xleaddadd  9967  qbtwnxr  10352  xrmaxiflemcl  11415  xrmaxifle  11416  xrmaxiflemab  11417  xrmaxiflemlub  11418  xrmaxltsup  11428  xrmaxadd  11431  xrbdtri  11446  isxmet2d  14631  blssioo  14836