Theorem elxr 9845

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8060	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8075	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8078	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2772	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3641	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3152  {cpr 3620  ℝcr 7873  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-un 4465  ax-cnex 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9846  xrnepnf  9847  xrltnr  9848  xrltnsym  9862  xrlttr  9864  xrltso  9865  xrlttri3  9866  nltpnft  9883  npnflt  9884  ngtmnft  9886  nmnfgt  9887  xrrebnd  9888  xnegcl  9901  xnegneg  9902  xltnegi  9904  xrpnfdc  9911  xrmnfdc  9912  xnegid  9928  xaddcom  9930  xaddid1  9931  xnegdi  9937  xleadd1a  9942  xltadd1  9945  xlt2add  9949  xsubge0  9950  xposdif  9951  xleaddadd  9956  qbtwnxr  10329  xrmaxiflemcl  11391  xrmaxifle  11392  xrmaxiflemab  11393  xrmaxiflemlub  11394  xrmaxltsup  11404  xrmaxadd  11407  xrbdtri  11422  isxmet2d  14527  blssioo  14732