Theorem elxr 9703

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7928	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 7943	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 7946	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2733	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 970	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∨ w3o 966   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ∪ cun 3109  {cpr 3571  ℝcr 7743  +∞cpnf 7921  -∞cmnf 7922  ℝ^*cxr 7923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-un 4405  ax-cnex 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9704  xrnepnf  9705  xrltnr  9706  xrltnsym  9720  xrlttr  9722  xrltso  9723  xrlttri3  9724  nltpnft  9741  npnflt  9742  ngtmnft  9744  nmnfgt  9745  xrrebnd  9746  xnegcl  9759  xnegneg  9760  xltnegi  9762  xrpnfdc  9769  xrmnfdc  9770  xnegid  9786  xaddcom  9788  xaddid1  9789  xnegdi  9795  xleadd1a  9800  xltadd1  9803  xlt2add  9807  xsubge0  9808  xposdif  9809  xleaddadd  9814  qbtwnxr  10183  xrmaxiflemcl  11172  xrmaxifle  11173  xrmaxiflemab  11174  xrmaxiflemlub  11175  xrmaxltsup  11185  xrmaxadd  11188  xrbdtri  11203  isxmet2d  12889  blssioo  13086