Theorem elxr 10133

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8330	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3364	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8345	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8348	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2828	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {cpr 3696  ℝcr 8144  +∞cpnf 8323  -∞cmnf 8324  ℝ^*cxr 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-un 4560  ax-cnex 8236

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-uni 3921  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10134  xrnepnf  10135  xrltnr  10136  xrltnsym  10150  xrlttr  10152  xrltso  10153  xrlttri3  10154  nltpnft  10171  npnflt  10172  ngtmnft  10174  nmnfgt  10175  xrrebnd  10176  xnegcl  10189  xnegneg  10190  xltnegi  10192  xrpnfdc  10199  xrmnfdc  10200  xnegid  10216  xaddcom  10218  xaddid1  10219  xnegdi  10225  xleadd1a  10230  xltadd1  10233  xlt2add  10237  xsubge0  10238  xposdif  10239  xleaddadd  10244  qbtwnxr  10646  xrmaxiflemcl  11961  xrmaxifle  11962  xrmaxiflemab  11963  xrmaxiflemlub  11964  xrmaxltsup  11974  xrmaxadd  11977  xrbdtri  11992  isxmet2d  15345  blssioo  15550