ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxr GIF version

Theorem elxr 9592
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 7827 . . 3 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
21eleq2i 2207 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3 elun 3221 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4 pnfex 7842 . . . . 5 +∞ ∈ V
5 mnfxr 7845 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
65elexi 2701 . . . . 5 -∞ ∈ V
74, 6elpr2 3553 . . . 4 (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
87orbi2i 752 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9 3orass 966 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
108, 9bitr4i 186 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
112, 3, 103bitri 205 1 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wo 698  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  cun 3073  {cpr 3532  cr 7642  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-un 4362  ax-cnex 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827
This theorem is referenced by:  xrnemnf  9593  xrnepnf  9594  xrltnr  9595  xrltnsym  9608  xrlttr  9610  xrltso  9611  xrlttri3  9612  nltpnft  9626  npnflt  9627  ngtmnft  9629  nmnfgt  9630  xrrebnd  9631  xnegcl  9644  xnegneg  9645  xltnegi  9647  xrpnfdc  9654  xrmnfdc  9655  xnegid  9671  xaddcom  9673  xaddid1  9674  xnegdi  9680  xleadd1a  9685  xltadd1  9688  xlt2add  9692  xsubge0  9693  xposdif  9694  xleaddadd  9699  qbtwnxr  10065  xrmaxiflemcl  11045  xrmaxifle  11046  xrmaxiflemab  11047  xrmaxiflemlub  11048  xrmaxltsup  11058  xrmaxadd  11061  xrbdtri  11076  isxmet2d  12554  blssioo  12751
  Copyright terms: Public domain W3C validator