Theorem elxr 10161

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8358	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8373	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8376	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 1012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3709  ℝcr 8172  +∞cpnf 8351  -∞cmnf 8352  ℝ^*cxr 8353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-un 4576  ax-cnex 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358

This theorem is referenced by:  xrnemnf  10162  xrnepnf  10163  xrltnr  10164  xrltnsym  10178  xrlttr  10180  xrltso  10181  xrlttri3  10182  nltpnft  10199  npnflt  10200  ngtmnft  10202  nmnfgt  10203  xrrebnd  10204  xnegcl  10217  xnegneg  10218  xltnegi  10220  xrpnfdc  10227  xrmnfdc  10228  xnegid  10244  xaddcom  10246  xaddid1  10247  xnegdi  10253  xleadd1a  10258  xltadd1  10261  xlt2add  10265  xsubge0  10266  xposdif  10267  xleaddadd  10272  qbtwnxr  10675  xrmaxiflemcl  11994  xrmaxifle  11995  xrmaxiflemab  11996  xrmaxiflemlub  11997  xrmaxltsup  12007  xrmaxadd  12010  xrbdtri  12025  isxmet2d  15432  blssioo  15637