Theorem elxr 9712

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7937	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 7952	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 7955	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2738	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ∪ cun 3114  {cpr 3577  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930  -∞cmnf 7931  ℝ^*cxr 7932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-un 4411  ax-cnex 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9713  xrnepnf  9714  xrltnr  9715  xrltnsym  9729  xrlttr  9731  xrltso  9732  xrlttri3  9733  nltpnft  9750  npnflt  9751  ngtmnft  9753  nmnfgt  9754  xrrebnd  9755  xnegcl  9768  xnegneg  9769  xltnegi  9771  xrpnfdc  9778  xrmnfdc  9779  xnegid  9795  xaddcom  9797  xaddid1  9798  xnegdi  9804  xleadd1a  9809  xltadd1  9812  xlt2add  9816  xsubge0  9817  xposdif  9818  xleaddadd  9823  qbtwnxr  10193  xrmaxiflemcl  11186  xrmaxifle  11187  xrmaxiflemab  11188  xrmaxiflemlub  11189  xrmaxltsup  11199  xrmaxadd  11202  xrbdtri  11217  isxmet2d  12988  blssioo  13185