Theorem elxr 9868

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8082	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 8097	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 8100	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2775	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {cpr 3624  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075  -∞cmnf 8076  ℝ^*cxr 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9869  xrnepnf  9870  xrltnr  9871  xrltnsym  9885  xrlttr  9887  xrltso  9888  xrlttri3  9889  nltpnft  9906  npnflt  9907  ngtmnft  9909  nmnfgt  9910  xrrebnd  9911  xnegcl  9924  xnegneg  9925  xltnegi  9927  xrpnfdc  9934  xrmnfdc  9935  xnegid  9951  xaddcom  9953  xaddid1  9954  xnegdi  9960  xleadd1a  9965  xltadd1  9968  xlt2add  9972  xsubge0  9973  xposdif  9974  xleaddadd  9979  qbtwnxr  10364  xrmaxiflemcl  11427  xrmaxifle  11428  xrmaxiflemab  11429  xrmaxiflemlub  11430  xrmaxltsup  11440  xrmaxadd  11443  xrbdtri  11458  isxmet2d  14668  blssioo  14873