Theorem elxr 9733

Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7958	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2	1	eleq2i 2237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ 𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3		elun 3268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4		pnfex 7973	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5		mnfxr 7976	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	elexi 2742	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ V
7	4, 6	elpr2 3605	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
8	7	orbi2i 757	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9		3orass 976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
10	8, 9	bitr4i 186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
11	2, 3, 10	3bitri 205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  {cpr 3584  ℝcr 7773  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418  ax-cnex 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  xrnemnf  9734  xrnepnf  9735  xrltnr  9736  xrltnsym  9750  xrlttr  9752  xrltso  9753  xrlttri3  9754  nltpnft  9771  npnflt  9772  ngtmnft  9774  nmnfgt  9775  xrrebnd  9776  xnegcl  9789  xnegneg  9790  xltnegi  9792  xrpnfdc  9799  xrmnfdc  9800  xnegid  9816  xaddcom  9818  xaddid1  9819  xnegdi  9825  xleadd1a  9830  xltadd1  9833  xlt2add  9837  xsubge0  9838  xposdif  9839  xleaddadd  9844  qbtwnxr  10214  xrmaxiflemcl  11208  xrmaxifle  11209  xrmaxiflemab  11210  xrmaxiflemlub  11211  xrmaxltsup  11221  xrmaxadd  11224  xrbdtri  11239  isxmet2d  13142  blssioo  13339