Theorem 1stnpr 7988

Description: Value of the first-member function at non-pairs. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1stnpr	⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → (1st ‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem 1stnpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 7986	. 2 ⊢ (1st ‘𝐴) = ∪ dom {𝐴}
2		dmsnn0 6207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ dom {𝐴} ≠ ∅)
3	2	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (dom {𝐴} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ (V × V))
4	3	necon1bi 2985	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → dom {𝐴} = ∅)
5	4	unieqd 4884	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → ∪ dom {𝐴} = ∪ ∅)
6		uni0 4900	. . 3 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → ∪ dom {𝐴} = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2809	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → (1st ‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  {csn 4588  ∪ cuni 4871   × cxp 5658  dom cdm 5660  ‘cfv 6536  1^st c1st 7982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-1st 7984

This theorem is used by: (None)