Theorem 1stnpr 7939

Description: Value of the first-member function at non-pairs. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1stnpr	⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → (1st ‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem 1stnpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 7937	. 2 ⊢ (1st ‘𝐴) = ∪ dom {𝐴}
2		dmsnn0 6162	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ dom {𝐴} ≠ ∅)
3	2	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ (dom {𝐴} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ (V × V))
4	3	necon1bi 2964	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → dom {𝐴} = ∅)
5	4	unieqd 4854	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → ∪ dom {𝐴} = ∪ ∅)
6		uni0 4869	. . 3 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → ∪ dom {𝐴} = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2788	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (V × V) → (1st ‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  ∅c0 4264  {csn 4558  ∪ cuni 4841   × cxp 5619  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  1^st c1st 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-1st 7935

This theorem is referenced by: (None)