Theorem afvvv 47739

Description: If a function's value at an argument is a set, the argument is also a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvvv	⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem afvvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afvprc 47738	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹'''𝐴) = V)
2		nvelim 47717	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
4	3	con4i 114	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  '''cafv 47711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-res 5659  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-aiota 47679  df-dfat 47713  df-afv 47714

This theorem is referenced by: (None)