Theorem afvpcfv0 47911

Description: If the value of the alternative function at an argument is the universe, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvpcfv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afvpcfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfafv2 47897	. . 3 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
2	1	eqeq1i 2767	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V ↔ if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V)
3		eqcom 2769	. . . 4 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V))
4		eqif 4528	. . . 4 ⊢ (V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
6		fveqvfvv 47805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	6	eqcoms 2770	. . . . 5 ⊢ (V = (𝐹‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8	7	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
9		fvfundmfvn0 6921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 47884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
12	11	necon1bi 2985	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
14	8, 13	jaoi 870	. . 3 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
15	5, 14	sylbi 220	. 2 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
16	2, 15	sylbi 220	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ifcif 4486  {csn 4588  dom cdm 5660   ↾ cres 5662  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536   defAt wdfat 47881  '''cafv 47882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-res 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-aiota 47850  df-dfat 47884  df-afv 47885

This theorem is used by:  afvfv0bi  47917  aovpcov0  47955