Theorem afvpcfv0 47606

Description: If the value of the alternative function at an argument is the universe, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvpcfv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afvpcfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfafv2 47592	. . 3 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
2	1	eqeq1i 2742	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V ↔ if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V)
3		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V))
4		eqif 4509	. . . 4 ⊢ (V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
5	3, 4	bitri 275	. . 3 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
6		fveqvfvv 47500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	6	eqcoms 2745	. . . . 5 ⊢ (V = (𝐹‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
9		fvfundmfvn0 6874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 47579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
12	11	necon1bi 2961	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
14	8, 13	jaoi 858	. . 3 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
15	5, 14	sylbi 217	. 2 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
16	2, 15	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492   defAt wdfat 47576  '''cafv 47577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-aiota 47545  df-dfat 47579  df-afv 47580

This theorem is referenced by:  afvfv0bi  47612  aovpcov0  47650