Theorem afvpcfv0 47388

Description: If the value of the alternative function at an argument is the universe, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvpcfv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afvpcfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfafv2 47374	. . 3 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
2	1	eqeq1i 2741	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V ↔ if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V)
3		eqcom 2743	. . . 4 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V))
4		eqif 4521	. . . 4 ⊢ (V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
5	3, 4	bitri 275	. . 3 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
6		fveqvfvv 47282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	6	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ (V = (𝐹‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
9		fvfundmfvn0 6874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 47361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
12	11	necon1bi 2960	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
14	8, 13	jaoi 857	. . 3 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
15	5, 14	sylbi 217	. 2 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
16	2, 15	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ifcif 4479  {csn 4580  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492   defAt wdfat 47358  '''cafv 47359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-aiota 47327  df-dfat 47361  df-afv 47362

This theorem is referenced by:  afvfv0bi  47394  aovpcov0  47432