Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afvpcfv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem afvpcfv0 45531
Description: If the value of the alternative function at an argument is the universe, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvpcfv0 ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afvpcfv0
StepHypRef Expression
1 dfafv2 45517 . . 3 (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V)
21eqeq1i 2736 . 2 ((𝐹'''𝐴) = V ↔ if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V) = V)
3 eqcom 2738 . . . 4 (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V) = V ↔ V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V))
4 eqif 4547 . . . 4 (V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V) ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
53, 4bitri 274 . . 3 (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V) = V ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
6 fveqvfvv 45427 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = V → (𝐹𝐴) = ∅)
76eqcoms 2739 . . . . 5 (V = (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴) = ∅)
87adantl 482 . . . 4 ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) = ∅)
9 fvfundmfvn0 6905 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10 df-dfat 45504 . . . . . . 7 (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
119, 10sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
1211necon1bi 2968 . . . . 5 𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹𝐴) = ∅)
1312adantr 481 . . . 4 ((¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V) → (𝐹𝐴) = ∅)
148, 13jaoi 855 . . 3 (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)) → (𝐹𝐴) = ∅)
155, 14sylbi 216 . 2 (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹𝐴), V) = V → (𝐹𝐴) = ∅)
162, 15sylbi 216 1 ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3459  c0 4302  ifcif 4506  {csn 4606  dom cdm 5653  cres 5655  Fun wfun 6510  cfv 6516   defAt wdfat 45501  '''cafv 45502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-br 5126  df-opab 5188  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-res 5665  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fv 6524  df-aiota 45470  df-dfat 45504  df-afv 45505
This theorem is referenced by:  afvfv0bi  45537  aovpcov0  45575
  Copyright terms: Public domain W3C validator