Theorem afvpcfv0 47176

Description: If the value of the alternative function at an argument is the universe, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvpcfv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afvpcfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfafv2 47162	. . 3 ⊢ (𝐹'''𝐴) = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V)
2	1	eqeq1i 2736	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V ↔ if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V)
3		eqcom 2738	. . . 4 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V))
4		eqif 4517	. . . 4 ⊢ (V = if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
5	3, 4	bitri 275	. . 3 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V ↔ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)))
6		fveqvfvv 47070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	6	eqcoms 2739	. . . . 5 ⊢ (V = (𝐹‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
9		fvfundmfvn0 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
10		df-dfat 47149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
12	11	necon1bi 2956	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
14	8, 13	jaoi 857	. . 3 ⊢ (((𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = (𝐹‘𝐴)) ∨ (¬ 𝐹 defAt 𝐴 ∧ V = V)) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
15	5, 14	sylbi 217	. 2 ⊢ (if(𝐹 defAt 𝐴, (𝐹‘𝐴), V) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
16	2, 15	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  ∅c0 4283  ifcif 4475  {csn 4576  dom cdm 5616   ↾ cres 5618  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481   defAt wdfat 47146  '''cafv 47147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-res 5628  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-aiota 47115  df-dfat 47149  df-afv 47150

This theorem is referenced by:  afvfv0bi  47182  aovpcov0  47220