Theorem brcnvtrclfvcnv 15045

Description: Two ways of expressing the transitive closure of the converse of the converse of a binary relation. (Contributed by RP, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvtrclfvcnv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem brcnvtrclfvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 7947	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → ◡𝑅 ∈ V)
2		brcnvtrclfv 15043	. 2 ⊢ ((◡𝑅 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5683   ∘ ccom 5688  ‘cfv 6560  t+ctcl 15025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-trcl 15027

This theorem is referenced by: (None)