Theorem brtrclfvcnv 14970

Description: Two ways of expressing the transitive closure of the converse of a binary relation. (Contributed by RP, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
brtrclfvcnv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem brtrclfvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 7900	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡𝑅 ∈ V)
2		brtrclfv 14968	. 2 ⊢ (◡𝑅 ∈ V → (𝐴(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  t+ctcl 14951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-trcl 14953

This theorem is referenced by: (None)