Theorem brtrclfvcnv 15048

Description: Two ways of expressing the transitive closure of the converse of a binary relation. (Contributed by RP, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
brtrclfvcnv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem brtrclfvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 7919	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡𝑅 ∈ V)
2		brtrclfv 15046	. 2 ⊢ (◡𝑅 ∈ V → (𝐴(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘◡𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((◡𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1567   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  t+ctcl 15029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-trcl 15031

This theorem is used by: (None)