Theorem brcnvtrclfv 15048

Description: Two ways of expressing the transitive closure of the converse of a binary relation. (Contributed by RP, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvtrclfv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem brcnvtrclfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcnvg 5897	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐴))
2	1	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐴))
3		brtrclfv 15047	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → (𝐵(t+‘𝑅)𝐴 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
4	3	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐴 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
5	2, 4	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966   class class class wbr 5151  ^◡ccnv 5692   ∘ ccom 5697  ‘cfv 6569  t+ctcl 15030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-trcl 15032

This theorem is referenced by:  brcnvtrclfvcnv  15050