MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brcnvtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brcnvtrclfv 14934
Description: Two ways of expressing the transitive closure of the converse of a binary relation. (Contributed by RP, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
brcnvtrclfv ((𝑅𝑈𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem brcnvtrclfv
StepHypRef Expression
1 brcnvg 5872 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵𝐵(t+‘𝑅)𝐴))
213adant1 1130 . 2 ((𝑅𝑈𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵𝐵(t+‘𝑅)𝐴))
3 brtrclfv 14933 . . 3 (𝑅𝑈 → (𝐵(t+‘𝑅)𝐴 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
433ad2ant1 1133 . 2 ((𝑅𝑈𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐴 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
52, 4bitrd 278 1 ((𝑅𝑈𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wal 1539  wcel 2106  wss 3945   class class class wbr 5142  ccnv 5669  ccom 5674  cfv 6533  t+ctcl 14916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-trcl 14918
This theorem is referenced by:  brcnvtrclfvcnv  14936
  Copyright terms: Public domain W3C validator