Theorem brcnvtrclfv 14927

Description: Two ways of expressing the transitive closure of the converse of a binary relation. (Contributed by RP, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvtrclfv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem brcnvtrclfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcnvg 5826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐴))
2	1	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐴))
3		brtrclfv 14926	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → (𝐵(t+‘𝑅)𝐴 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
4	3	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐴 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))
5	2, 4	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴◡(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐵𝑟𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5621   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  t+ctcl 14909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-trcl 14911

This theorem is referenced by:  brcnvtrclfvcnv  14929