MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtrclfv 15038
Description: Two ways of expressing the transitive closure of a binary relation. (Contributed by RP, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv (𝑅𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem brtrclfv
StepHypRef Expression
1 trclfv 15036 . . 3 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)})
21breqd 5159 . 2 (𝑅𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵𝐴 {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵))
3 brintclab 15037 . . 3 (𝐴 {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
4 df-br 5149 . . . . 5 (𝐴𝑟𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
54imbi2i 336 . . . 4 (((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵) ↔ ((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
65albii 1816 . . 3 (∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵) ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
73, 6bitr4i 278 . 2 (𝐴 {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵))
82, 7bitrdi 287 1 (𝑅𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535  wcel 2106  {cab 2712  wss 3963  cop 4637   cint 4951   class class class wbr 5148  ccom 5693  cfv 6563  t+ctcl 15021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-trcl 15023
This theorem is referenced by:  brcnvtrclfv  15039  brtrclfvcnv  15040  trclfvcotr  15045
  Copyright terms: Public domain W3C validator