Theorem brtrclfv 14184

Description: Two ways of expressing the transitive closure of a binary relation. (Contributed by RP, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
brtrclfv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem brtrclfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trclfv 14182	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘𝑅) = ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)})
2	1	breqd 4967	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ 𝐴∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵))
3		brintclab 14183	. . 3 ⊢ (𝐴∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
4		df-br 4957	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑟𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
5	4	imbi2i 337	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵) ↔ ((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
6	5	albii 1799	. . 3 ⊢ (∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵) ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
7	3, 6	bitr4i 279	. 2 ⊢ (𝐴∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵))
8	2, 7	syl6bb 288	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1518   ∈ wcel 2079  {cab 2773   ⊆ wss 3854  ⟨cop 4472  ∩ cint 4776   class class class wbr 4956   ∘ ccom 5439  ‘cfv 6217  t+ctcl 14167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fv 6225  df-trcl 14169

This theorem is referenced by:  brcnvtrclfv  14185  brtrclfvcnv  14186  trclfvcotr  14191