Theorem btwnlng13 35066

Description: If 𝑍 is between 𝑋 and 𝑌, or 𝑌 is between 𝑋 and 𝑍, then 𝑍 lies on the line 𝑋𝑌. (Contributed by SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnlng13.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
btwnlng13.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
btwnlng13.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
btwnlng13.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
btwnlng13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
btwnlng13.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
btwnlng13.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
btwnlng13.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
btwnlng13.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Assertion

Ref	Expression
btwnlng13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Proof of Theorem btwnlng13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnlng13.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		btwnlng13.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		btwnlng13.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		btwnlng13.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		btwnlng13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		btwnlng13.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		btwnlng13.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
12		btwnlng13.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
14		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	btwnlng1 28901	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
16	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
20	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
21		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
22	1, 2, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21	btwnlng3 28903	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
23		btwnlng13.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
24	15, 22, 23	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-trkg 28731

This theorem is used by:  morleylemrneab  35067