Theorem btwnlng13 35127

Description: If 𝑍 is between 𝑋 and 𝑌, or 𝑌 is between 𝑋 and 𝑍, then 𝑍 lies on the line 𝑋𝑌. (Contributed by SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnlng13.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
btwnlng13.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
btwnlng13.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
btwnlng13.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
btwnlng13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
btwnlng13.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
btwnlng13.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
btwnlng13.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
btwnlng13.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Assertion

Ref	Expression
btwnlng13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Proof of Theorem btwnlng13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnlng13.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		btwnlng13.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		btwnlng13.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		btwnlng13.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		btwnlng13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		btwnlng13.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		btwnlng13.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
12		btwnlng13.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	btwnlng1 28948	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
16	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
20	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
22	1, 2, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21	btwnlng3 28950	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
23		btwnlng13.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
24	15, 22, 23	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  TarskiGcstrkg 28752  Itvcitv 28758  LineGclng 28759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-trkg 28778

This theorem is used by:  morleylemrneab  35128