Theorem morleylemrneab 35367

Description: Lemma for morley . (Contributed by TA and SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
morley.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
morley.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
morley.e	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
morley.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
morley.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
morley.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
morley.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
morley.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
morley.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
morley.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
morley.0	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
morley.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝑅”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.5	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐶𝑃”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)
morley.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝐶𝐴”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)

Assertion

Ref	Expression
morleylemrneab	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Proof of Theorem morleylemrneab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		morley.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	3	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5		morley.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
7		morley.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		morley.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		morley.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		morley.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
14	3	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
16	15	neqned 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18		morley.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
19	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
21		morley.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
23		morley.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
25		morley.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
26	25	breqi 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
29	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane3 29348	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
30	29	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
31	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane4 29349	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵))
33	5, 6, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28, 32	cgranbtwn 35365	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
34	5, 6, 7, 9, 11, 22, 19, 31, 33	btwnlng13 35366	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
35	17	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
36	5, 6, 7, 9, 11, 22, 13, 31, 32	btwnlng3 29116	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
37	5, 6, 7, 9, 11, 22, 31, 13, 35, 36	tglineelsb2 29127	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝑅) = (𝐴𝐿𝐵))
38	34, 37	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
39		morley.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
40	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
41	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
43	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
44	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
45	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
46	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47		morley.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
49	25	breqi 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
51	5, 6, 41, 20, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgracom 29356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
52	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50, 45, 43, 46, 51	cgratr 29357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
53	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 45, 43, 46, 52	cgracom 29356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
55	5, 6, 9, 22, 11, 13, 40, 11, 19, 54, 32	cgranbtwn 35365	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
56	5, 6, 7, 9, 11, 19, 40, 29, 55	btwnlng13 35366	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
57	5, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 30, 38, 40, 56	tglineeltr 29126	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
58	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
60	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
61	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
62	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
63	5, 6, 20, 41, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50	cgrane2 29347	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
64	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
65	64	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
66	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
67	5, 6, 20, 41, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgrane4 29349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
68	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
69		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
70	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
71		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵))
72	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 62, 59, 66, 70, 71	cgrabtwn 29361	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑄(Itv‘𝐺)𝑅))
73	5, 6, 7, 58, 59, 66, 62, 68, 72	btwnlng2 29115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
74	67	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
75		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
76	5, 6, 7, 41, 43, 46, 16, 45, 74, 75	tglineelsb2 29127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
77	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
78	73, 77	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
79	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
80	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
81	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 79, 59, 62, 80, 71	cgrabtwn 29361	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶(Itv‘𝐺)𝑄))
82	5, 6, 7, 58, 59, 62, 79, 64, 81	btwnlng2 29115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
83	5, 6, 7, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 78, 79, 82	tglineeltr 29126	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
84	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
85	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
86	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
87	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
88	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
89	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
90	89	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
91	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
92	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
93	87	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
94	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 93, 92	cgraswap 29354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
95	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
96	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 88, 85, 91, 95	cgratr 29357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
97		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))
98	5, 6, 84, 86, 85, 91, 88, 85, 91, 96, 97	cgranbtwn 35365	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
99	5, 6, 7, 84, 85, 91, 88, 92, 98	btwnlng13 35366	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
100	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
101	99, 100	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
102	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
103	53	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
104	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 102, 85, 88, 103	cgratr 29357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
105	5, 6, 84, 86, 85, 91, 102, 85, 88, 104, 97	cgranbtwn 35365	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
106	5, 6, 7, 84, 85, 88, 102, 89, 105	btwnlng13 35366	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
107	5, 6, 7, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 101, 102, 106	tglineeltr 29126	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
108	5, 7, 6, 41, 43, 46, 16, 45	tgellng 29043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))))
109	75, 108	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)))
110	57, 83, 107, 109	mpjao3dan 1460	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
111	4, 110	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ⟨“cs3 15018  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  LineGclng 28923  hlGchlg 29090  cgrAccgra 29341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-leg 29073  df-hlg 29091  df-cgra 29342

This theorem is used by: (None)