Theorem morleylemrneab 34967

Description: Lemma for morley . (Contributed by TA and SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
morley.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
morley.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
morley.e	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
morley.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
morley.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
morley.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
morley.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
morley.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
morley.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
morley.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
morley.0	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
morley.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝑅”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.5	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐶𝑃”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)
morley.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝐶𝐴”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)

Assertion

Ref	Expression
morleylemrneab	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Proof of Theorem morleylemrneab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		morley.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ioran 997	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	3	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5		morley.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
7		morley.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		morley.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		morley.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		morley.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	12	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
14	3	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
16	15	neqned 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18		morley.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
19	18	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
20		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
21		morley.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
23		morley.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
24	23	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
25		morley.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
26	25	breqi 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
27	24, 26	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
28	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
29	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane3 29010	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
30	29	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
31	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane4 29011	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
32		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵))
33	5, 6, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28, 32	cgranbtwn 34965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
34	5, 6, 7, 9, 11, 22, 19, 31, 33	btwnlng13 34966	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
35	17	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
36	5, 6, 7, 9, 11, 22, 13, 31, 32	btwnlng3 28792	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
37	5, 6, 7, 9, 11, 22, 31, 13, 35, 36	tglineelsb2 28803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝑅) = (𝐴𝐿𝐵))
38	34, 37	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
39		morley.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
40	39	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
41	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	39	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
43	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
44	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
45	21	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
46	12	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47		morley.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
49	25	breqi 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
50	48, 49	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
51	5, 6, 41, 20, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgracom 29018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
52	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50, 45, 43, 46, 51	cgratr 29019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
53	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 45, 43, 46, 52	cgracom 29018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
54	53	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
55	5, 6, 9, 22, 11, 13, 40, 11, 19, 54, 32	cgranbtwn 34965	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
56	5, 6, 7, 9, 11, 19, 40, 29, 55	btwnlng13 34966	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
57	5, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 30, 38, 40, 56	tglineeltr 28802	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
58	8	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	10	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
60	12	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
61	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
62	18	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
63	5, 6, 20, 41, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50	cgrane2 29009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
64	63	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
65	64	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
66	21	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
67	5, 6, 20, 41, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgrane4 29011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
68	67	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
69		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
70	27	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
71		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵))
72	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 62, 59, 66, 70, 71	cgrabtwn 29022	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑄(Itv‘𝐺)𝑅))
73	5, 6, 7, 58, 59, 66, 62, 68, 72	btwnlng2 28791	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
74	67	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
75		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
76	5, 6, 7, 41, 43, 46, 16, 45, 74, 75	tglineelsb2 28803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
77	76	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
78	73, 77	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
79	39	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
80	53	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
81	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 79, 59, 62, 80, 71	cgrabtwn 29022	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶(Itv‘𝐺)𝑄))
82	5, 6, 7, 58, 59, 62, 79, 64, 81	btwnlng2 28791	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
83	5, 6, 7, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 78, 79, 82	tglineeltr 28802	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
84	8	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
85	10	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
86	12	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
87	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
88	18	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
89	63	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
90	89	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
91	21	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
92	67	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
93	87	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
94	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 93, 92	cgraswap 29016	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
95	27	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
96	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 88, 85, 91, 95	cgratr 29019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
97		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))
98	5, 6, 84, 86, 85, 91, 88, 85, 91, 96, 97	cgranbtwn 34965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
99	5, 6, 7, 84, 85, 91, 88, 92, 98	btwnlng13 34966	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
100	76	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
101	99, 100	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
102	39	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
103	53	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
104	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 102, 85, 88, 103	cgratr 29019	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
105	5, 6, 84, 86, 85, 91, 102, 85, 88, 104, 97	cgranbtwn 34965	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
106	5, 6, 7, 84, 85, 88, 102, 89, 105	btwnlng13 34966	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
107	5, 6, 7, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 101, 102, 106	tglineeltr 28802	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
108	5, 7, 6, 41, 43, 46, 16, 45	tgellng 28724	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))))
109	75, 108	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)))
110	57, 83, 107, 109	mpjao3dan 1454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
111	4, 110	mtand 825	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1098   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ⟨“cs3 14857  Basecbs 17247  distcds 17297  TarskiGcstrkg 28598  Itvcitv 28604  LineGclng 28605  hlGchlg 28771  cgrAccgra 29003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-s2 14863  df-s3 14864  df-trkgc 28619  df-trkgb 28620  df-trkgcb 28621  df-trkg 28624  df-cgrg 28682  df-leg 28754  df-hlg 28772  df-cgra 29004

This theorem is referenced by: (None)