Theorem morleylemrneab 35212

Description: Lemma for morley . (Contributed by TA and SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
morley.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
morley.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
morley.e	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
morley.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
morley.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
morley.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
morley.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
morley.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
morley.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
morley.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
morley.0	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
morley.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝑅”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.5	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐶𝑃”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)
morley.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝐶𝐴”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)

Assertion

Ref	Expression
morleylemrneab	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Proof of Theorem morleylemrneab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		morley.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	3	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5		morley.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
7		morley.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		morley.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		morley.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		morley.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
14	3	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
16	15	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18		morley.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
19	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
21		morley.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
23		morley.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
25		morley.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
26	25	breqi 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
29	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane3 29232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
30	29	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
31	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane4 29233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵))
33	5, 6, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28, 32	cgranbtwn 35210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
34	5, 6, 7, 9, 11, 22, 19, 31, 33	btwnlng13 35211	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
35	17	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
36	5, 6, 7, 9, 11, 22, 13, 31, 32	btwnlng3 29000	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
37	5, 6, 7, 9, 11, 22, 31, 13, 35, 36	tglineelsb2 29011	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝑅) = (𝐴𝐿𝐵))
38	34, 37	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
39		morley.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
40	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
41	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
43	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
44	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
45	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
46	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47		morley.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
49	25	breqi 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
51	5, 6, 41, 20, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgracom 29240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
52	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50, 45, 43, 46, 51	cgratr 29241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
53	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 45, 43, 46, 52	cgracom 29240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
55	5, 6, 9, 22, 11, 13, 40, 11, 19, 54, 32	cgranbtwn 35210	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
56	5, 6, 7, 9, 11, 19, 40, 29, 55	btwnlng13 35211	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
57	5, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 30, 38, 40, 56	tglineeltr 29010	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
58	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
60	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
61	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
62	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
63	5, 6, 20, 41, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50	cgrane2 29231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
64	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
65	64	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
66	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
67	5, 6, 20, 41, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgrane4 29233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
68	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
69		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
70	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
71		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵))
72	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 62, 59, 66, 70, 71	cgrabtwn 29245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑄(Itv‘𝐺)𝑅))
73	5, 6, 7, 58, 59, 66, 62, 68, 72	btwnlng2 28999	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
74	67	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
75		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
76	5, 6, 7, 41, 43, 46, 16, 45, 74, 75	tglineelsb2 29011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
77	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
78	73, 77	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
79	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
80	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
81	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 79, 59, 62, 80, 71	cgrabtwn 29245	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶(Itv‘𝐺)𝑄))
82	5, 6, 7, 58, 59, 62, 79, 64, 81	btwnlng2 28999	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
83	5, 6, 7, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 78, 79, 82	tglineeltr 29010	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
84	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
85	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
86	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
87	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
88	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
89	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
90	89	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
91	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
92	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
93	87	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
94	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 93, 92	cgraswap 29238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
95	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
96	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 88, 85, 91, 95	cgratr 29241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
97		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))
98	5, 6, 84, 86, 85, 91, 88, 85, 91, 96, 97	cgranbtwn 35210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
99	5, 6, 7, 84, 85, 91, 88, 92, 98	btwnlng13 35211	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
100	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
101	99, 100	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
102	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
103	53	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
104	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 102, 85, 88, 103	cgratr 29241	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
105	5, 6, 84, 86, 85, 91, 102, 85, 88, 104, 97	cgranbtwn 35210	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
106	5, 6, 7, 84, 85, 88, 102, 89, 105	btwnlng13 35211	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
107	5, 6, 7, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 101, 102, 106	tglineeltr 29010	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
108	5, 7, 6, 41, 43, 46, 16, 45	tgellng 28927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))))
109	75, 108	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)))
110	57, 83, 107, 109	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
111	4, 110	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ⟨“cs3 14938  Basecbs 17326  distcds 17376  TarskiGcstrkg 28800  Itvcitv 28806  LineGclng 28807  hlGchlg 28974  cgrAccgra 29225

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-hash 14420  df-word 14604  df-concat 14661  df-s1 14688  df-s2 14944  df-s3 14945  df-trkgc 28821  df-trkgb 28822  df-trkgcb 28823  df-trkg 28826  df-cgrg 28885  df-leg 28957  df-hlg 28975  df-cgra 29226

This theorem is used by: (None)