Theorem morleylemrneab 35067

Description: Lemma for morley . (Contributed by TA and SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
morley.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
morley.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
morley.e	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
morley.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
morley.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
morley.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
morley.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
morley.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
morley.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
morley.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
morley.0	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
morley.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝑅”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.5	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐶𝑃”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)
morley.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝐶𝐴”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)

Assertion

Ref	Expression
morleylemrneab	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Proof of Theorem morleylemrneab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		morley.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	3	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5		morley.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
7		morley.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		morley.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		morley.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		morley.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	12	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
14	3	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
16	15	neqned 2965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18		morley.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
19	18	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
21		morley.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
23		morley.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
25		morley.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
26	25	breqi 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
29	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane3 29134	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
30	29	necomd 3013	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
31	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane4 29135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
32		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵))
33	5, 6, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28, 32	cgranbtwn 35065	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
34	5, 6, 7, 9, 11, 22, 19, 31, 33	btwnlng13 35066	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
35	17	necomd 3013	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
36	5, 6, 7, 9, 11, 22, 13, 31, 32	btwnlng3 28903	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
37	5, 6, 7, 9, 11, 22, 31, 13, 35, 36	tglineelsb2 28914	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝑅) = (𝐴𝐿𝐵))
38	34, 37	eleqtrd 2865	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
39		morley.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
40	39	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
41	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	39	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
43	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
44	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
45	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
46	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47		morley.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
48	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
49	25	breqi 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
51	5, 6, 41, 20, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgracom 29142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
52	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50, 45, 43, 46, 51	cgratr 29143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
53	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 45, 43, 46, 52	cgracom 29142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
55	5, 6, 9, 22, 11, 13, 40, 11, 19, 54, 32	cgranbtwn 35065	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
56	5, 6, 7, 9, 11, 19, 40, 29, 55	btwnlng13 35066	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
57	5, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 30, 38, 40, 56	tglineeltr 28913	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
58	8	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	10	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
60	12	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
61	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
62	18	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
63	5, 6, 20, 41, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50	cgrane2 29133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
64	63	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
65	64	necomd 3013	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
66	21	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
67	5, 6, 20, 41, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgrane4 29135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
68	67	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
69		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
70	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
71		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵))
72	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 62, 59, 66, 70, 71	cgrabtwn 29146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑄(Itv‘𝐺)𝑅))
73	5, 6, 7, 58, 59, 66, 62, 68, 72	btwnlng2 28902	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
74	67	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
75		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
76	5, 6, 7, 41, 43, 46, 16, 45, 74, 75	tglineelsb2 28914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
77	76	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
78	73, 77	eleqtrrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
79	39	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
80	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
81	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 79, 59, 62, 80, 71	cgrabtwn 29146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶(Itv‘𝐺)𝑄))
82	5, 6, 7, 58, 59, 62, 79, 64, 81	btwnlng2 28902	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
83	5, 6, 7, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 78, 79, 82	tglineeltr 28913	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
84	8	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
85	10	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
86	12	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
87	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
88	18	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
89	63	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
90	89	necomd 3013	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
91	21	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
92	67	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
93	87	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
94	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 93, 92	cgraswap 29140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
95	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
96	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 88, 85, 91, 95	cgratr 29143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
97		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))
98	5, 6, 84, 86, 85, 91, 88, 85, 91, 96, 97	cgranbtwn 35065	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
99	5, 6, 7, 84, 85, 91, 88, 92, 98	btwnlng13 35066	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
100	76	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
101	99, 100	eleqtrrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
102	39	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
103	53	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
104	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 102, 85, 88, 103	cgratr 29143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
105	5, 6, 84, 86, 85, 91, 102, 85, 88, 104, 97	cgranbtwn 35065	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
106	5, 6, 7, 84, 85, 88, 102, 89, 105	btwnlng13 35066	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
107	5, 6, 7, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 101, 102, 106	tglineeltr 28913	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
108	5, 7, 6, 41, 43, 46, 16, 45	tgellng 28831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))))
109	75, 108	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)))
110	57, 83, 107, 109	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
111	4, 110	mtand 827	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ⟨“cs3 14884  Basecbs 17273  distcds 17323  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712  hlGchlg 28878  cgrAccgra 29127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkg 28731  df-cgrg 28789  df-leg 28861  df-hlg 28879  df-cgra 29128

This theorem is used by: (None)