Theorem morleylemrneab 35128

Description: Lemma for morley . (Contributed by TA and SS, 4-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
morley.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
morley.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
morley.e	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
morley.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
morley.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
morley.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
morley.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
morley.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
morley.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
morley.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
morley.0	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
morley.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
morley.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝑅”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝑅𝐵𝑃”⟩)
morley.5	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐶𝑃”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)
morley.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝐶𝐴”⟩ ∼ ⟨“𝑃𝐶𝑄”⟩)

Assertion

Ref	Expression
morleylemrneab	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Proof of Theorem morleylemrneab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		morley.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	3	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5		morley.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
7		morley.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		morley.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		morley.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		morley.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
14	3	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
16	15	neqned 2967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18		morley.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
19	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
20		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
21		morley.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
23		morley.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
25		morley.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
26	25	breqi 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
29	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane3 29181	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
30	29	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
31	5, 6, 20, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28	cgrane4 29182	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵))
33	5, 6, 9, 22, 11, 13, 19, 11, 22, 28, 32	cgranbtwn 35126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
34	5, 6, 7, 9, 11, 22, 19, 31, 33	btwnlng13 35127	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
35	17	necomd 3015	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
36	5, 6, 7, 9, 11, 22, 13, 31, 32	btwnlng3 28950	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
37	5, 6, 7, 9, 11, 22, 31, 13, 35, 36	tglineelsb2 28961	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝑅) = (𝐴𝐿𝐵))
38	34, 37	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
39		morley.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
40	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
41	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
43	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
44	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
45	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
46	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
47		morley.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
49	25	breqi 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩ ∼ ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩ ↔ ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
51	5, 6, 41, 20, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgracom 29189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
52	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50, 45, 43, 46, 51	cgratr 29190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
53	5, 6, 41, 20, 42, 43, 44, 45, 43, 46, 52	cgracom 29189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
55	5, 6, 9, 22, 11, 13, 40, 11, 19, 54, 32	cgranbtwn 35126	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
56	5, 6, 7, 9, 11, 19, 40, 29, 55	btwnlng13 35127	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
57	5, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 30, 38, 40, 56	tglineeltr 28960	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
58	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
59	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
60	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
61	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
62	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
63	5, 6, 20, 41, 42, 43, 44, 44, 43, 45, 50	cgrane2 29180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
64	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
65	64	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
66	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
67	5, 6, 20, 41, 45, 43, 46, 44, 43, 45, 27	cgrane4 29182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
68	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
69		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
70	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
71		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵))
72	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 62, 59, 66, 70, 71	cgrabtwn 29193	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑄(Itv‘𝐺)𝑅))
73	5, 6, 7, 58, 59, 66, 62, 68, 72	btwnlng2 28949	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
74	67	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
75		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
76	5, 6, 7, 41, 43, 46, 16, 45, 74, 75	tglineelsb2 28961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
77	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
78	73, 77	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
79	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
80	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
81	5, 6, 69, 58, 66, 59, 60, 79, 59, 62, 80, 71	cgrabtwn 29193	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶(Itv‘𝐺)𝑄))
82	5, 6, 7, 58, 59, 62, 79, 64, 81	btwnlng2 28949	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
83	5, 6, 7, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 78, 79, 82	tglineeltr 28960	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
84	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
85	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
86	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
87	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
88	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑆)
89	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
90	89	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝐴)
91	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝑆)
92	67	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
93	87	necomd 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
94	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 93, 92	cgraswap 29187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩)
95	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
96	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 88, 85, 91, 95	cgratr 29190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑄𝐴𝑅”⟩)
97		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))
98	5, 6, 84, 86, 85, 91, 88, 85, 91, 96, 97	cgranbtwn 35126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅) ∨ 𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄)))
99	5, 6, 7, 84, 85, 91, 88, 92, 98	btwnlng13 35127	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
100	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝑅))
101	99, 100	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
102	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
103	53	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝑅𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
104	5, 6, 84, 20, 86, 85, 91, 91, 85, 86, 94, 102, 85, 88, 103	cgratr 29190	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → ⟨“𝐵𝐴𝑅”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐴𝑄”⟩)
105	5, 6, 84, 86, 85, 91, 102, 85, 88, 104, 97	cgranbtwn 35126	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → (𝐶 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐶)))
106	5, 6, 7, 84, 85, 88, 102, 89, 105	btwnlng13 35127	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝑄))
107	5, 6, 7, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 101, 102, 106	tglineeltr 28960	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
108	5, 7, 6, 41, 43, 46, 16, 45	tgellng 28878	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅))))
109	75, 108	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (𝑅 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅(Itv‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴(Itv‘𝐺)𝑅)))
110	57, 83, 107, 109	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
111	4, 110	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14908  Basecbs 17296  distcds 17346  TarskiGcstrkg 28752  Itvcitv 28758  LineGclng 28759  hlGchlg 28925  cgrAccgra 29174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-dju 9904  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12884  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-hash 14390  df-word 14574  df-concat 14631  df-s1 14658  df-s2 14914  df-s3 14915  df-trkgc 28773  df-trkgb 28774  df-trkgcb 28775  df-trkg 28778  df-cgrg 28836  df-leg 28908  df-hlg 28926  df-cgra 29175

This theorem is used by: (None)