MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnlng3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnlng3 27910
Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
btwnlng1.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
btwnlng1.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
btwnlng1.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
btwnlng1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
btwnlng1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
btwnlng1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
btwnlng1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
btwnlng1.d (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
btwnlng3.1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
Assertion
Ref Expression
btwnlng3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))

Proof of Theorem btwnlng3
StepHypRef Expression
1 btwnlng3.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
213mix3d 1338 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3 btwnlng1.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 btwnlng1.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 btwnlng1.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 btwnlng1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 btwnlng1.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 btwnlng1.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
9 btwnlng1.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
10 btwnlng1.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10tgellng 27842 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
122, 11mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  TarskiGcstrkg 27716  Itvcitv 27722  LineGclng 27723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-trkg 27742
This theorem is referenced by:  midexlem  27981  footexALT  28007  footexlem1  28008  footexlem2  28009  mideulem2  28023  opphllem1  28036  outpasch  28044  colhp  28059
  Copyright terms: Public domain W3C validator