MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnlng3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnlng3 27872
Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
btwnlng1.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
btwnlng1.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
btwnlng1.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
btwnlng1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
btwnlng1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
btwnlng1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
btwnlng1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
btwnlng1.d (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
btwnlng3.1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
Assertion
Ref Expression
btwnlng3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))

Proof of Theorem btwnlng3
StepHypRef Expression
1 btwnlng3.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
213mix3d 1339 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3 btwnlng1.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 btwnlng1.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 btwnlng1.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 btwnlng1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 btwnlng1.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 btwnlng1.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
9 btwnlng1.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
10 btwnlng1.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10tgellng 27804 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
122, 11mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-trkg 27704
This theorem is referenced by:  midexlem  27943  footexALT  27969  footexlem1  27970  footexlem2  27971  mideulem2  27985  opphllem1  27998  outpasch  28006  colhp  28021
  Copyright terms: Public domain W3C validator