Theorem ceilval 14018

Description: The value of the ceiling function. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ceilval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘ -𝐴))

Proof of Theorem ceilval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11588	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘ -𝑥) = (⌊‘ -𝐴))
3	2	negeqd 11590	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -(⌊‘ -𝑥) = -(⌊‘ -𝐴))
4		df-ceil 13973	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘ -𝑥))
5		negex 11594	. 2 ⊢ -(⌊‘ -𝐴) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7024	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘ -𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℝcr 11238   -cneg 11581  ⌊cfl 13970  ⌈cceil 13971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-neg 11583  df-ceil 13973

This theorem is used by:  ceilcl  14022  ceilge  14025  ceilm1lt  14028  ceille  14030  ceilid  14031  ex-ceil  31106  ceilbi  48680  ceildivmod  48688