Theorem ceilval 13983

Description: The value of the ceiling function. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ceilval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘ -𝐴))

Proof of Theorem ceilval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11554	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘ -𝑥) = (⌊‘ -𝐴))
3	2	negeqd 11556	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -(⌊‘ -𝑥) = -(⌊‘ -𝐴))
4		df-ceil 13938	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘ -𝑥))
5		negex 11560	. 2 ⊢ -(⌊‘ -𝐴) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6996	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘ -𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  ℝcr 11204   -cneg 11547  ⌊cfl 13935  ⌈cceil 13936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-neg 11549  df-ceil 13938

This theorem is used by:  ceilcl  13987  ceilge  13990  ceilm1lt  13993  ceille  13995  ceilid  13996  ex-ceil  31056  ceilbi  48514  ceildivmod  48522