Theorem ceilval 13739

Description: The value of the ceiling function. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ceilval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))

Proof of Theorem ceilval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11349	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘-𝑥) = (⌊‘-𝐴))
3	2	negeqd 11351	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -(⌊‘-𝑥) = -(⌊‘-𝐴))
4		df-ceil 13694	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
5		negex 11355	. 2 ⊢ -(⌊‘-𝐴) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6929	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℝcr 11002  -cneg 11342  ⌊cfl 13691  ⌈cceil 13692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-neg 11344  df-ceil 13694

This theorem is referenced by:  ceilcl  13743  ceilge  13746  ceilm1lt  13749  ceille  13751  ceilid  13752  ex-ceil  30423  ceilbi  47363  ceildivmod  47369