Theorem ceilcl 13804

Description: Closure of the ceiling function. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ceilcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem ceilcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceilval 13800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
2		ceicl 13803	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  ℝcr 11105  -cneg 11442  ℤcz 12555  ⌊cfl 13752  ⌈cceil 13753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fl 13754  df-ceil 13755

This theorem is referenced by:  ceilcld  13805  ceilidz  13814  flleceil  13815  fleqceilz  13816  aks4d1p1p3  41427  aks4d1p1p2  41428  aks4d1p1p4  41429  aks4d1p1  41434  aks4d1p2  41435  aks4d1p3  41436  aks4d1p5  41438  aks4d1p6  41439  aks4d1p7d1  41440  limsupubuzlem  44913  limsupmnfuzlem  44927  limsupre3uzlem  44936